Связь координат вектора с координатами его образа
Пусть
в линейном пространстве
задан базис (4.8) и пусть
– матрица линейного оператора
в этом базисе. Выберем произвольный
вектор
и положим
.
Обозначим
и
– координатные столбцы векторов
и
соответственно в базисе (4.8). Тогда
[(4.3)]
[(4.11)]
=
,
и
.
(4.13)
Равенство (4.13) есть не что иное, как разложение вектора по базису (4.8), а коэффициенты разложения –координаты вектора в этом базисе. В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем
.
(4.14)
Записав
(4.14) по правилу цепочки (
),
получаем
.
(4.15)
Формула (4.14) и задает связь координат вектора и координат его образа при линейном операторе, а (4.15) –ее матричная запись.
Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(4.16)
и
,
(4.17)
и
пусть A =
и
– матрицы линейного оператора
в базисах (4.16) и (4.17) соответственно.
Тогда
,
(4.18)
где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).
►Чтобы
найти матрицу
,
следует образы векторов базиса (4.17)
разложить опять же по этому базису.
Имеем
=
[определение матрицы перехода] =
= [(4.3)] =
=
=
[(4.11)] =
= [свойство 6º § 9 гл. 3] =
.
Итак,
= . (4.19)
Равенство (4.19) задает разложение вектора по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,
.
(4.20)
В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство
,
(4.21)
которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:
.
(4.22)
Так
как
(см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем
(4.18).◄
Определение.
Квадратные матрицы А
и В
называются подобными,
если существует невырожденная матрица
Т
такая, что
.
Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.
Лемма
4.1. Подобные
матрицы имеют одинаковые определители.
►
.◄
Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .
§ 4. Геометрический смысл определителя линейного оператора
Пусть
– линейный оператор,
– его матрица в некотором ортонормированном
базисе
,
и пусть
– некомпланарные векторы, а
– их образы. Обозначим
и
координатные столбцы в выбранном базисе
векторов
и
соответственно,
,
– объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,
а
– объем параллелепипеда, построенного
на векторах
.
Тогда, учитывая (4.15), получаем
[(4.15)
§ 3]
[§ 5 гл. 1]
=
[§
6 гл. 1]
.
(4.23)
Рассмотрим
теперь пространство
.
Выберем в нем точку
и
линейно независимых векторов
,
.
Параллелепипедом в
(
-мерным
параллелепипедом) будем называть
множество точек в
.
(4.24)
Обозначим
координатный столбец вектора
в каноническом базисе. По аналогии с
трехмерным пространством, объемом
-мерного
параллелепипеда (4.24) будем называть
число
.
Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т.е. определение объема параллелепипеда является корректным.
Так же, как и для трехмерного пространства, для пространства доказывается равенство (4.23).
Вывод: из формулы (4.23) на основании леммы 4.1 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.