Свойства собственных векторов
1º. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.
► Предположим,
что некоторому собственному вектору
соответствуют два разных собственных
значения
и
(
).
Тогда
.
(4.42)
По шестому следствию § 1 гл. 3, из (4.42) следует, что , что противоречит определению собственного вектора.◄
2º. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.
►Пусть
,
,
…,
– собственные
векторы линейного оператора
с собственными значениями
соответственно, причем
при
.
Доказательство проведем методом
математической индукции по количеству
векторов.
a)
.
Предположим, что векторы линейно
зависимы. Тогда один из них можно выразить
через другой, например,
.
Имеем
,
откуда
получаем, что
(так как
,
),
а значит,
,
что противоречит определению собственного
вектора.
б)
Предположим, что утверждение справедливо
для (n–1)-го
вектора и докажем его справедливость
для n
векторов. Пусть собственные векторы
с различными собственными значениями
линейно зависимы. Значит, один из них
можно представить в виде линейной
комбинации остальных, например:
.
(4.43)
Так
как
,
получаем
.
(4.44)
По
предположению индукции, векторы
,
,
…,
линейно независимы. Поэтому из (4.44)
вытекает, что
,
Так как
,
то
при
.
Но тогда из (4.43) видно, что
,
что противоречит определению собственного
вектора.◄
3º.
Множество
всех собственных векторов линейного
оператора
с одним и тем же собственным значением
вместе с нулевым вектором является
подпространством линейного пространства
V.
►Заметим,
что
состоит из всех векторов, удовлетворяющих
условию (4.42),
т.к.
при любом
.
Докажем замкнутость
относительно
операций, заданных
в
V.
Действительно,
{
}
{
;
}
{
}
{
};
{
}
{
}
{
}
{
}.
На основании теоремы 3.4, – подпространство линейного пространства V.◄
4º.
Пусть
– линейный
оператор,
– его различные
собственные значения. Обозначим
и
.
Тогда
в
существует
линейно независимых собственных векторов
оператора
.
►В
каждом из подпространств
выберем
линейно независимых векторов
и покажем, что система
–
(4.45)
линейно
независима. Для этого составим ее
линейную комбинацию и приравняем
:
.
(4.46)
Обозначим
.
Тогда (4.46) примет вид
,
откуда
вытекает, что система
линейно зависима. Поэтому на основании
свойства 2º
не все из векторов
являются собственными, т. е. среди них
есть нулевые. Пусть, например,
.
Это означает, что
(объясните, почему), и что
.
Теперь видим, что система
линейно зависима. Значит, и среди этих
векторов есть нулевые. Пусть, например,
со всеми вытекающими отсюда последствиями.
После конечного числа шагов получаем,
что в (4.46) все коэффициенты
,
откуда и следует линейная независимость
системы (4.45).◄