Ответ №32

1. Интегралы вида 

Для решения данных интегралов применяются

формулы преобразования произведения

тригонометрические функций в сумму или разность:

2. Интегралы вида 

Здесь и везде ниже предполагается, что m 

и n - натуральные числа. Для вычисления таких

интегралов используются следующие

подстановки и преобразования:

Если степень косинуса n – нечетная

(при этом степень синуса m может быть любой),

то используется подстановка  .

Если степень синуса m - нечетная, то используется

подстановка  .

Если степени m и n - четные, то сначала

применяются формулы двойного угла

чтоб ы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида 

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения   и формулы редукции

4. Интегралы вида 

Здесь степень подынтегрального выражения

понижается с помошью соотношения  и формулы редукции

5. Интегралы вида 

Данный тип интеграла упрощается с помощью

следующей формулы редукции:

6. Интегралы вида 

Аналогично предыдущим пунктам, интеграл

упрощается с помощью формулы

7. Интегралы вида 

Если степень секанса n - четная, то c помошью

соотношения  секанс

выражается через тангенс. При этом множитель 

 отделяется и используется для

преобразования дифференциала.

В результате весь интеграл (включая дифференциал)

выражается через функцию tg x.

Е Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется

множитель sec x tg x, необходимый для

преобразования дифференциала.

Далее весь интеграл выражается через sec x.

Если степень секанса n - нечетная, а степень

тангенса m - четная, то тангенс выражается через

секанс с помощью формулы

  . Затем вычисляются

интегралы от секанса.

8. Интегралы вида 

Если степень косеканса n - четная, то c помошью

соотношения   косеканс

выражается через котангенс. При этом множитель 

 отделяется и используется для

преобразования дифференциала. В результате

подынтегральная функция и дифференциал

выражаются через ctg x.

Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется

множитель ctg x cosec x, необходимый для

преобразования дифференциала. Далее интеграл

выражается через cosec x.

Если степень косеканса n - нечетная, а степень

котангенса m - четная, то котангенс выражается через

косеканс с помощью формулы  .

Далее вычисляются интегралы от косеканса.