Ответ №37

Пусть f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b]. Тогда она будет непрерывной и на всяком частичном промежутке [a, x], и можем рассмотреть интеграл

Производная определенного интеграла от непрерывной функции, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подинтегральной функции в точке дифференцирования.

     В виде формулы высказанное утверждение выглядит так:

     Если же положить

то формулированную теорему можно будет записать равенством

     (17)

     Приведем сначала не строгое, но очень наглядное геометрическое рассуждение, выясняющее суть теоремы.

     Предполагая функцию f(t) непрерывной и положительной на [a, b], мы сможем изобразить функцию   в виде площадки криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, t = a, t = x, y = f(t) (см. Рис. 6.).

Ответ №38

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что

▼Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; 0] и [0; а]. Тогда по свойству аддитивности

В первом интеграле сделаем подстановку х = -t. Тогда

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим

Если функция ƒ(х) четная (ƒ(-х) = ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 2ƒ(х); если функция ƒ(х) нечетная (ƒ(-х) = - ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 0. Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).▲

Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

Ответ №39

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси   и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла   при   называется несобственным интегралом функции f(x) от a до   и обозначается  .  Итак, по определению,  . Если этот предел существует и конечен, интеграл   называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. 

От неограниченных функций

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел   то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают 

Таким образом,поопределению,

Ответ №40

Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

Если интеграл сходится, а интеграл расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку   и при x > a удовлетворяют неравенствам  . Тогда:  если сходится интеграл  , то сходится интеграл  ;  если расходится интеграл  , то расходится интеграл    В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа  . Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если  :