Ответ №35
Основные понятия и определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим
произвольную функцию 
,
которая определена и непрерывна на
отрезке 
.
Разобъем отрезок
на 
частей
(не обязательно равных) точками
которые
не совпадают. Получаем, что отрезок
есть
объединение полуинтервалов открытых
справа 
, 
и
отрезка 
,
т.е.
(эти
полуинтервалы 
и
отрезок 
будем
называть множествами).
Возьмем
из каждого множества 
произвольную
точку 
и
составим следующую сумму:
где 
--
длина (мера) полуинтервала 
(множества
).
Определение. Предел
от суммы 
при 
,
если он существует и конечен,
называется определенным
интегралом от
функции
в
пределах от 
до 
и
обозначается:
Если существует определенный интеграл от функции , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .
Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.
Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл
и
имеет место формула
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула
называется формулой Ньютона-Лейбница.
На практике для вычисления площадей, объемов фигур, заданных функциями, применяетсяопределенный интеграл.
Ответ №36
Вычисление площадей
Рассмотрим криволинейную
трапецию,
т.е. фигуру, образованную осью 
,
прямыми 
, 
и
кривой 
.
Требуется найти площадь данной криволинейной трапеции. Покажем, что эта задача эквивалентна нахождению определенного интеграла.
Разобъем отрезок на частей точками
Получаем, что отрезок есть объединение полуинтервалов открытых слева , и отрезка , т.е.
(эти полуинтервалы и отрезок будем называть множествами).
Возьмем из каждого множества произвольную точку и составим следующую сумму:
где -- длина (мера) множества (полуинтервала).
Величина 
--
это сумма площадей прямоугольников со
сторонами 
и 
,
.
При стремлении к нулю 
сумма
будет
стремиться к значениюопределенного
интеграла
Получаем,
что площадь криволинейной трапеции
есть
Рассмотрим случай задания кривой параметрическим образом, т.е.
где
параметр 
.
Тогда площадь вычисляется через
определенный интеграл:
Аналогично
можно рассмотреть случай, когда
криволинейная трапеция прилежит к
оси 
,
т.е. криволинейная трапеция ограничена
линиями 
, 
,
осью
и
кривой 
.
В этом случае площадь вычисляется через
интеграл:
Вычисление объема тела вращения
Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .
Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .
Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:
Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:
