Лекция10 Общаяалгебра

ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИКОНЕЧНОГОПОЛЯПростейшиеалгебраическиеструктуры

Подалгебраическойструктуройбудемпониматьнекотороемножество

Sсоднойилинесколькимиоперацияминанем.

ПустьSхSобозначаетмножествоупорядоченныхпар(α,β)гдеα,β^S.ТогдапроизвольноеотображениеизSхSвSбудемназыватьбинарнойоперациейнамножествеS.

Всоответствиисэтимопределениемрезультатпримененияоперациинаддвумяэлементами(α,β)однозначноопределениявляетсянепременноэлементоммножестваS.Этотакназываемоесвойствозамкнутостиопераций.

Примеромбинарныхоперацийявляютсяарифметическиеоперации:сложения(+),вычитания(-),умножения(*),деления(/).Бинарнуюоперацию,когдаеевиднеуточняется,будемобозначатьсимволом(*).

Будемиспользоватьследующиечисловыемножества:N-множествонатуральныхчисел,Z-целыхчисел,Q-рациональных,R-действительных.

Oтметимследующиедваважныхсвойствабинарныхопераций.Определение1.1.Операция(*)намножествеSкоммутативна,еслиа(*)β=β(*)αдлявсехα,β^S.

Пример1.1.АрифметическаяоперациясложениянаZкоммутативна,авычитание-нет.

Определение1.2.Операция(*)намножествеSассоциативна,еслиа(*)(*)у=а(*)(β(*),у)длявсеха,β,у^S.

Вопределениииспользованыкруглыескобки,чтобыопределитьпорядоквычислений.

Еслиоперацияассоциативна,топорядоквычисленийнесуществен,и,следовательно,скобкинетребуются.

Пример1.2.НадZимеем(2+3)+4=2+3+4=2+(3+4),но(2-3)-

4=-5и2-(3-4)=3,т.е.операциявычисляетсянеассоциативно.

Полугруппы

Определение1.3.ПолугруппойназываетсямножествоSсбинарнойоперацией(*),котораяудовлетворяетсвойствам(аксиомам):

1)Замкнутость;

2)ассоциативность.

Моноид.

Определение1.4.МножествоSназываетсямоноидом,еслидлялюбойпарыэлементовмножестваSопределенаоперация(*)идлянеевыполняютсяследующиетрисвойства:

1)замкнутость;

2)ассоциативность;

3)Sсодержитединственныйэлементе,называемыйединицейS,такой,чтодлялюбогоаизS:е(*)а=а(*)е=а.

Группы

Определение1.5.МножествоSназываетсягруппой,еслидлялюбойпарыэлементовмножестваSопределенаоперация(*)идлянеевыполняютсяследующиечетыресвойства:

1)замкнутость;

2)ассоциативность;

3)Sсодержитединственныйэлементе,называемыйединицейS,такой,чтодлялюбогоаизS:е(*)а=а(*)е=а;

4)длялюбогоаизSсуществуетединственныйобратныйэлементу^

S,такой,чтоа(*)у=у(*)а=е.

Если,крометого,длялюбыхэлементова,β^Sвыполнимосоотношение

а(*)β=β(*)а,

тогруппаназываетсякоммутативной,илиабелевой.

Еслиоперация(*)являетсясложением(+),тогруппаназываетсяаддитивнойидляэлементаепринятообозначениеО,аобратныйкаэлементобозначаетсяа.Еслиоперация(*)являетсяумножением(·),тогруппаS

_{называетсямультипликативнойиэлементеобозначаетсясимволом1,а}

_{обратныйкаэлемент-}

_a^1_.

ПримерамигруппявляетсямножествоZсарифметическойоперациейсложенияимножествоRсоперациейсложенияилиумножения.

Важныесвойствагруппы:

1)внутригруппыможнорешитьуравнениеа(*)х=β,гдехопределяетсяизсоотношения

_х=a^1

_(*)β,

ирешениеединственное,т.е.вгруппевозможныоднозначныеправоеилевое

_{«деление»;}

2)вгруппевыполняетсясоотношение(а(*))^1=^1

_{Длямультипликативнойгруппыимеем}

(*)a^1.

_^n

_(^1₎ⁿ_,^m_^n

_^mn_,(^m₎ⁿ

_^nm_,m,nN

Дляаддитивнойабелевойгруппытежеправилаимеютвид:

(-n)а=n(-а),mа+nа=(m+n)а,m(nа)=(mn)а.

Циклическиеконечныегруппы

Группа,содержащаяконечноечислоqэлементов,называетсяконечнойгруппой.Впротивномслучаегруппабесконечная.Числоэлементоввгруппеназываетсяпорядкомгруппы.

Циклическаяконечнаягруппасостоитизстепеней⁰⁼е,

,^2,^3,...одногоэлементаαиобязательнокоммутативна.

_{Таккакгруппаконечна,должнысуществоватьдвазначенияпоказателя}

_{степениiиj,i<j,длякоторых}ⁱ

_=^j_=ⁱ_(^j₎^1 _.

Oтсюдаследует(согласносвойствуединичногомультипликативногоэлемента),что(^j)1l=е=1.

_{Порядком(мультипликативным)элементаαгруппыназывается}

_{наименьшееположительноецелоечислоm,длякоторого}^m

_=1.

Последовательностьстепенейэлементаавконечнойгруппе

_{имеетследующеециклическоесвойство:}

_α,²_,...,^m

_=е,α,²_,...,^m

_=е,α,²_,...

Порядокциклическойгруппысовпадаетсмультипликативнымпорядкомэлементаα.

ЕсливмультипликативнойгруппеGимеетсятакойэлементα,что

_{каждыйэлементβGявляетсястепеньюэлементаα,т.е.существуетцелое}

числоkтакое,чтоβ=^k

группыG.

,тотогдаэтотэлементназываетсяобразующим

_{Кольцаиполя}

Алгебраическиеструктурысдвумябинарнымиоперациями-сложениеиумножение.

Определение1.7.МножествоSназываетсякольцом,еслисложениеиумножениеопределеныдлялюбойпары(α,β)элементовизSивыполняютсяследующиеаксиомы.