Лекция11 Конечныеполя

Определение1.9.ПолеFqназываетсяконечным,еслимножествоегоэлементовконечно.

Обозначение.F-символдляобозначенияконечногополяизqэлементов.Числоqназываетсяпорядкомконечногополя.

ТаккакполеFq,поопределению,являетсямультипликативнойгруппой,токаждыйненулевойэлементαполяFqимеетмультипликативныйпорядок(напомним,чтоеслисуществуетm^Nтакое,

чтоαm=1,α^Fq,инесуществуетменьшегоi^N,

такого,чтоα=1,тоmназываетсямультипликативнымпорядкомэлементаα).

Определение1.10.ПримитивнымэлементомполяFqназываетсяэлемент,укоторогомультипликативныйпорядокточноравенq-1.

Любоеполе

_*

F

_q^{содержитпримитивныйэлемент.}

МультипликативнаягруппаFqненулевыхэлементовпроизвольногоконечногополяFqциклическая.

_{ПримитивныйэлементполяFqявляетсяобразующимэлементом}

циклическойгруппы

_F*.

q

Определение1.11.Еслисуществуетцелоеk^N,такое,чтоka=0,α^Fq(инесуществуетменьшегоцелогоiЕN,,такого,чтоia=0),тоkназываетсяаддитивнымпорядкомэлементаα.

НенулевыеэлементыполяFqимеютодинитотжеаддитивныйпорядок[2].

Характеристикаполя

Определение1.12.ЕсливполеFqвсененулевыеэлементыимеютаддитивныйпорядокk,тоговорят,чтополеFqимеетхарактеристикуk.Обозначение.р-простоечисло.

ХарактеристикалюбогоконечногополяFq(счисломэлементовр)являетсяпростымчислом[2](т.е.вконечномполеFqдлякаждогоα^Fqвыполняетсясоотношениерα=0).

ЧислоqэлементовконечногополяFqопределяетсяхарактеристикойполя:.длялюбогоцелогоn≥1ипростогочисларсуществуетконечноеполеизpnэлементов(полепорядкаpn)[2].

ТакиеконечныеполяназываютсяполямиГалуаиобозначаются

GF(pⁿ⁾илиGF(p)='Fpприп=1(аббревиатураотсловGaloisиField(поле)..

ПолеGF(p)(приn=1)длялюбогопростогорсмножествомчиселFp

={0,1,2,...,р-1}являетсяполемварифметикепомодулюр(этоозначает,чтоэлементполяi+j,i,j^FpзадаетсяостаткомRр(i+j)отделенияобычнойсуммыi+jнар).вэтомполеобратныйпосложениюэлементдляэлементаi-этоэлемент,соответствующийр-i.Обратныйпоумножению

_{элементудовлетворяетсоотношению}

_α·a^1

_{(modp)=1, α·a}^1_GF(p).

Этазаписьозначает,чтоостатокRp(α·α-I)отделенияобычногопроизведенияа·а-Iнарравен1.

Элементы{1,...,p-1}поляGF(p)можнополучитькакостаткипомодулюротстепенейпримитивногоэлементаэтогополя.

Пример1.4.Пустьр=19.Имеемпримитивныйэлемент2.Тогдапоследовательныестепени2послеприведенияпомодулю19будутследующими:2,4,8,16,13,7,14,9,18,17,15,11,3,6,12,5,10,1.

ПримеромпростейшегоконечногополяявляетсяполеGF(2).

Операциисложения(сложениепомодулю2)иумножения(умножениепомодулю2)вэтомполевыполняютсяпомодулю2(рис.2.1).

	0 1
0 1	0 1 1 0

	0 1
0 1	0 0 0 1

_{а) б)}

Рис.2.1.ТаблицыоперацийнадэлементамиполяGF(2):

_{а)операциясложения();б)операцияумножения()}

ПриведемвкачествеещеодногопримераполеGF(7).

Аналогичныетаблицыопераций(рис.2.2)можнопредставитьидляполя

_GF(7).

	0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6	0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 2 3 4 5 6 0 1 3 4 5 6 0 1 2 4 5 6 0 1 2 3 5 6 0 1 2 3 4 6 0 1 2 3 4 5

	0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6	0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 1 3 5 0 3 6 2 5 1 4 0 4 1 5 2 6 3 0 5 3 1 6 4 2 0 6 5 4 3 2 1

_{а) б)}

Рис.2.2.ТаблицыоперацийнадэлементамиполяGF(7):

_{а)операциясложения();б)операцияумножения()}

_{Отметим,чтовполеGF(p}ⁿ_{)приn>1правиласложенияи}

умножениянеявляютсясложениемиумножениемпомодулю

Операциивтакомполебудемрассматриватьдалее.

p^n.