Доверительный интервал нормального распределения

Пусть распределение СВ Х подчиняется нормальному закону N(x; m, ) и среднее квадратичное отклонение в показаниях прибора  известно. Построим доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр m с надежностью  .

Точечной оценкой параметра m является функция выборки . Сумма СВ , подчиняющихся нормальному закону N(x; m, ) также подчиняется нормальному закону N(x; M( ), ( )). Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение для нам известно : M( ) = m и ( ) = . Пусть выполняется соотношение , где  - заданная надежность. Но вероятность попадания на указанный интервал определяется по формуле

= 2 или = 2(t), где

Значение параметра t находим из условия 2(t) =  по таблицам, определяем точность оценки и получаем доверительный интервал

(х_i – , x_i + ) , где x_i – любое экспериментальное значение СВ.

Проверка статистических гипотез

Имеем экспериментальный статистический ряд. Строим полигон или гистограмму и выдвигаем гипотезу о законе распределения генеральной совокупности - равномерном, нормальном, распределении Пуассона и т.д. Если различие всех p*_i незначительно, предполагаем равномерное распределение. Если гистограмма имеет куполообразную форму – нормальное распределение. Если СВ целые числа и M*(X)  D*(X) - распределение Пуассона.

Выбрали распределение. Для каждого х*_i находим теоретические значения частот n`_i (выравнивающие частоты), которые могут отличаться от экспериментальных n_{i .} Вопрос – это отличие случайно или следствие неправильности гипотезы ? Ответ дает критерий согласия ² Пирсона ( хи квадрат).

Гипотеза Н: генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Вычисление выравнивающих частот: находим , D*(X) , * = и сами частоты n`<sub>i</sub> = , где h - разность между двумя соседними вариантами, и . Получаем множество частот n`₁ , n`<sub>2</sub> , . . . , n`_l . Составим ² функцию

² = , (14)

которая является мерой отклонения истинного распределения от гипотетического (при ² = 0 ) и для неё можно установить некоторый критический уровень _a² . При ² < c_a² гипотеза принимается, при ² > c_a² отвергается. Значение ² зависит от величин разностей и объема выборки l . Разность между l и s - числом условий, накладываемых на частоты, т.е. l – s = k наз. числом степеней свободы. Для N(x;m,) s =3. Составлены таблицы, которые определяют значение ² =²(k,p) при заданных k и p – вероятности согласования теоретического и статистического распределения. Обычно в качестве p берут значения 0,05; 0,01 ; 0,001. Таблицы составлены для k  30 , при k > 30 c_a² вычисляется по общей формуле.

Пр. При уровне значимости p = 0,05 проверить гипотезу о соответствии нормальному распределению следующих экспериментальных данных

эмпирические частоты : 6 13 38 74 106 85 30 14

теоретические частоты : 3 14 42 82 99 76 37 13

Вычислим ² по формуле ( 14 )

i	ni	n`i	ni – n`i	(ni – n`i)2
1	6	3	3	9	3
2	13	14	-1	1	0,07
3	38	42	-4	16	0,38
4	74	82	-8	64	0,78
5	106	99	7	49	0,49
6	85	76	9	81	1,07
7	30	37	-7	49	1,32
8	14	13	1	1	0,08
			0		7,19

Для параметров k = 8 – 3 = 5 , p = 0,05 из таблицы находим пороговое значение c_a² = ² (k,p) = 11, 1 . Из неравенства ² = 7,19 < c_a² = 11, 1 следует, что гипотеза принимается.