Распределение Пуассона

Имеем серию n независимых испытаний ( n = 1, 2, 3, . . . ). Считаем, что вероятность появления события А зависит от номера серии P(A) = p_n > 0 и убывает с ростом n так, что для каждой серии среднее число появления события А постоянно, т.е. np_n = ., или p_n = /n . Такая ситуация часто бывает на практике, когда рост n означает увеличение интервала (1, n), а вероятность p_n , по условию задачи, обратно пропорциональна его величине.

Определим вероятность m – кратного появления события А в n – ой серии

P_n(m) = C_n^m p^m q^{n – m} = C_n^m ( 24 )

При n   имеем lim C_n^m = lim = lim[1(1- )(1- )(1- )… (1- ) = , lim = e^{- }

Это замечательный предел. Поэтому при n  

lim P_n(m) = e^{- } ( 25 )

Если n достаточно велико, то получаем приближенную формулу Пуассона

P_n(m) = e^{- } , где np_n = . ( 26 )

Опр. СВ Х распределена по закону Пуассона , если ее задает таблица

( 27 )

X	0	1	2	3	. . .
P	e- l	 e- l	e- l	e- l	. . .

Проверим нормировку P и найдем математическое ожидание

= = = = 1

M(X) = =  e^{- l} =  e^{- l} e^l =  ( 28 )

Аналогично получаем M(X²) = ² +  и D(X) = M(X²) - M²(X) =  ( 29 )

Пр. Пусть кусок радиоактивного вещества испускает в среднем r импульсов за 1 сек. или rt импульсов за t сек. Вещество имеет n атомов, которые распадаются с вероятностью p за 1 сек. и дают в среднем npt импульсов за t сек. Равенство rt = npt =  определяет математическое ожидание и вероятность распада, как функцию от n: p_n = . Т.о. процесс описывается распределением Пуассона, которое дает вероятность k распадов за t сек. P(k) = . Вероятность p настолько мала, что изменение n не влияет на усредненные параметры.

Показательное распределение

Задача. Пусть одновременно установили N₀ действующих телевизоров. С течением времени часть из них будет выходить из строя и число действующих телевизоров окажется функцией времени N = N(t). Уменьшение числа TV N за время t будет пропорционально числу действующих TV и t : N = - N t. Имеем закон линейной зависимости для приращения функции от значения функции и приращения аргумента и получаем дифференциальное уравнение dN = - Ndt. Его решение имеет вид ln N = -C t или N =C Из условия N(0) = N₀ C = N₀ и получаем N(t) = N₀ e^-t. Отношение = R(t) = e^-t наз. показательной функцией надежности, где  наз. интенсивность отказа. R(t) определяет вероятность того, что TV будет работать до момента времени t. Противоположное событие, т.е отключение устройства к моменту времени t, имеет функцию распределения вероятности F(t) = 1– R(t) = 1– e^-lt Перейдем к плотности вероятности f(t) = F`(t) и проверим её нормировку

f(t) = , F(t) =

f(t) dt = = /l = 1 ( 30 )

Вычислим математическое ожидание показательного распределения ( 30 )

M(Т) = t f(t) dt = = =

= uv|₀ - = - te^-lt |₀ + = 1/ . Аналогично находим

M(X) = 1/ , D(X) = 1/² , = 1/ ( 31 )

Если эксперимент дает M(X) = , то можно считать, что распределение показательное. Если при показательном распределении неизвестно  , то его определяют по математическому ожиданию:  = 1/M(X).

Пр.10 Время безотказной работы радиолампы определяется функцией надежности R(t) = e^-t/300 . Найти а) среднее значение времени работы; б) вероятность отказа за промежуток от 150 до 450 часов; в) вероятность работы не менее 600 часов.

Решение. а) Среднее время работы равно математическому ожиданию M(Т) = 1/ = 300 часов; б) P(150<t<450) = F(450) – F(150) = e^-150/300 - e^-450/300 = = 0.38 ; в) Это значение функции надежности R(600) = e ^-600/300 = 1/e² = 0.1352 .