Оценки параметров распределения
Задача статистики
– оценить параметры распределения СВ
Х по
данным выборки. В теории считают N
=
и n
.
Для оценки параметров распределения
Х
из данных выборки составляют выражения,
которые должны служить точечными
оценками неизвестных
параметров. Так
есть оценка генеральной средней
,
а
-
оценка генеральной дисперсии DГ.
Пусть
оцениваемый параметр, а *=
*(
x1,
x2,
. . ., xn)
точечная оценка параметра.
Опр. Оценка
*
наз. несмещенной,
если её
математическое ожидание равно оцениваемому
параметру: М(*)
=
, в противном случае наз. смещенной.
Оценка
несмещенная ( М(
)
= а ),
а
смещенная,
т.к. М(
)
=
DГ.
Однако,
функция
дает
несмещенную оценку для генеральной
дисперсии.
Опр. Оценка * параметра наз. состоятельной, если сходится по вероятности к параметру , т.е. lim P(|* - |< ) = 1 при n . Это равенство означает, что при достаточно больших n * отличается от на величину меньшую, чем произвольное число .
Несмещенная оценка * состоятельна, если при n её дисперсия стремится к нулю: D(*) 0. Т.к. D( ) = , то это условие для несмещенной выборочной средней выполняется. Оценка функции также состоятельна. Состоятельную оценку генерального среднего квадратичного отклонения для Х дает функция
S
=
(
10 )
а
для усредненного значения
:
=
.
Пр. С яблони сняли
10 яблок и взвесили. Определим статистические
данные выборки
,
.
Введем ложный
нуль С = 250 и
( 5 ), (10) представим в виде
= С + 1/n
,
s2
=
где Xi заменили на реализации xi и на .
i |
xi |
xi – C |
(xi - C)2 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
225 274 305 253 220 245 211 234 230 231 |
-25 24 55 3 -30 -5 -39 -16 -20 -19 |
625 576 3025 9 900 25 1521 256 400 261 |
Сумма |
|
-72 |
7598 |
=
250 +
=
250 +
(-72)
= 243 г.
s
={
=
=28г,
а
=
=
9 г. Ответ.
Оценка генеральной средней массы яблока
243 г со средней квадратичной ошибкой
для неё 9 г .
Доверительный интервал
Многократные повторы эксперимента приводят к некоторому разбросу его численных результатов. Методы математической статистики позволяют получить точечные оценки параметров распределения этих результатов. Необходимо только решить вопрос о точности и достоверности этих точечных оценок.
Значения точечных оценок любого параметра распределения
(*1, *2, . . . , *m), ( 11 )
занимают интервал (*1, *m) , который, с определенной долей вероятности, включает истинное значение параметра , т.е. P(*1 < < *m) = , где наз. коэффициентом надежности (0 < < 1). Интервал (*1, *m) удобно представить с помощью параметра - точность оценки : | (*– | < или * – < < * + . Отсюда следует, что интервал (*– , * + ) покрывает , но выбор * случаен и событие {| (*– | < } не всегда достоверно.
Опр. Доверительным интервалом на основе точечной оценки * наз. интервал (*– , * + ), который покрывает параметр с заданной надежностью
P(| (*– | < ) = ( 12 )
Если для каждой точечной оценки ( 12 ) проверить событие {|(*i – | < }, то доля интервалов , покрывших , будет равна .