1. Электростатика

1.1. Электрическое поле в вакууме Основные определения

• Кулоновская сила, действующая на заряд , и энергия этого заряда в электрическом поле:

, (1.1а)

где – напряженность, а – потенциал поля.

• Работа кулоновской силы при перемещении заряда

, (1.1б)

где и – значения потенциала поля в начале и в конце траектории заряда .

• Напряженность и потенциал поля точечного заряда на расстоянии от него:

. (1.1в)

• Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции):

, . (1.1г)

• Напряженность и потенциал электростатического поля связаны соотношениями:

, (1.1д)

где постоянная интегрирования, определяемая граничными условиями.

• Электрический дипольный момент системы точечных зарядов

. (1.1е)

• Потенциал и напряженность поля диполя на расстоянии от него:

, , (1.1ж)

где угол между векторами и .

• Энергия диполя, сила и момент сил, действующие на диполь во внешнем электрическом поле :

. (1.1з)

• Поток вектора через элементарную площадку :

, (1.1и)

где единичный вектор нормали к площадке.

• Теорема Остроградского - Гаусса:

, (1.1к)

где – электрические заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности .

• Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме:

, (1.1л)

где , а – пространственная плотность электрических зарядов.

1. Д ва заряда и находятся в точках с радиус-векторами и . Определить напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого этими зарядами в точке пространства, радиус-вектор которой равен .

2. Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной , как показано на рис. 1.1. Определить величину напряженности и потенциала электрического поля в центре квадрата, если: а) ; б) , ; в) , .

3. Из тонкой пластины, по которой равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью , вырезано кольцо с внутренним радиусом . Ширина кольца . Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси кольца в зависимости от расстояния до его центра.

1. Круглая тонкая пластина радиусом равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на оси пластины как функцию расстояния до ее центра. Исследовать полученные выражения при и .

4. З аряд равномерно распределен по тонкому прямому стержню длиной . Найти модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния от центра стержня до точки прямой: а) перпендикулярной стержню и проходящей через его центр; б) совпадающей с осью стержня (при условии ). Исследовать полученные выражения при .

5. Линейная плотность электрического заряда, равномерно распределенного по длине тонкого полубесконечного стержня, равна . Определить напряженность электрического поля в точке А, расположенной на расстоянии от края стержня К. Отрезок АК перпендикулярен стержню (рис.1.2). Чему равен угол между вектором и отрезком АК?

6. Заряд равномерно распределен по дуге радиусом . Определить напряженность электрического поля в центре дуги, если она представляет собой: а) четверть окружности; б) половину окружности.

1. З аряд распределен равномерно по поверхности полусферы радиусом . Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля в центре полусферы.

7. Длина тонкой равномерно заряженной нити во много раз больше радиуса закругления нити (рис. 1.3). Для каждого из вариантов конфигурации, представленных на рис. 1,3,а,б,в,г, определить напряженность электрического поля в центре закругления. Линейная плотность заряда известна.

1. Тонкое кольцо радиусом заряжено с линейной плотностью , где – азимутальный угол, а – положительная постоянная. Найти модуль напряженности электрического поля в центре кольца.

1. Найти напряженность электрического поля как функцию координат , если координатная зависимость потенциала поля имеет вид: а) ; б) ; в) . Здесь , , и – положительные константы.

2. Потенциал электрического поля зависит от координат, как . Найти проекцию напряженности электрического поля в точке М на направление вектора . Постоянный множитель считать известным.

3. Напряженность электрического поля , где , и – константы. Найти координатную зависимость потенциала этого поля, если известно, что . Является ли данное поле однородным?

4. То же, если напряженность поля как функция координат имеет вид: а) ; б) ; в) .

1. Определить модуль дипольного момента системы четырех зарядов, изображенных на рис. 1.1, если: а) , ; б) , ; в) , .

2. Вычислить дипольный момент ионной двухвалентной молекулы, в которой эффективное расстояние между отрицательным и положительным зарядами равно половине Боровского радиуса .

5. О пределить модуль дипольного момента: а) тонкого прямого стержня длиной (рис.1.4), зависимость линейной плотности заряда которого от координаты имеет вид ; б) кольца из задачи 1.10.

1. Молекула с дипольным моментом Клּм расположена на расстоянии см от точечного заряда мкКл. Вычислить: а) силу , действующую на молекулу; б) вращающий момент сил ; в) энергию молекулы в поле данного заряда. Известно, что вектор направлен под углом к силовым линиям поля точечного заряда.

2. Молекула с дипольным моментом Клּм находится в однородном электрическом поле напряженностью В/м, причем направления векторов и совпадают. Какую работу необходимо совершить против кулоновских сил, чтобы повернуть эту молекулу на угол , равный: а) ; б) ?

3. На рис. 1.5,а,б,в,г представлены четыре варианта взаимной ориентации дипольных моментов двух молекул воды. Для каждого из этих вариантов вычислить в дипольном приближении силу кулоновского взаимодействия между молекулами, если известно, что они расположены на расстоянии м друг от друга. Дипольный момент молекулы воды Клּм.

4. В центре куба находится точечный заряд . Определить поток вектора : а) через полную поверхность куба; б) через одну из граней куба. Изменятся ли ответы, если заряд находится не в центре куба, но внутри него?

5. Определить поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую часть пространства объемом .

6. Заряд распределен равномерно по поверхности сферы радиусом . Определить напряженность электрического поля и потенциал как функцию расстояния от центра сферы. Потенциал бесконечно удаленной точки принять равным нулю. Построить примерные графики зависимостей и .

1. С истема зарядов, расположенных в вакууме, представляет собой шар радиусом , заряженный равномерно с объемной плотностью . Определить зависимости и и построить примерные графики этих зависимостей. Учесть, что потенциал является непрерывной функцией координат. Потенциал бесконечно удаленной точки принять равным нулю.

6. Определить зависимости и в случае, когда заряд равномерно с плотностью распределен по объему сферического слоя. Внутренний и внешний радиусы слоя равны и (см. рис.1.6).

7. Заряд равномерно распределен по объему бесконечно длинного цилиндрического стержня радиусом . Найти напряженность и потенциал электрического поля как функции расстояния от оси стержня. Потенциал оси стержня принять равным нулю.

1. Н айти проекцию напряженности и потенциал электрического поля, создаваемого безграничной заряженной плоскостью в зависимости от координаты , перпендикулярной к этой плоскости (рис.1.7). Поверхностная плотность заряда плоскости . Потенциал заряженной плоскости принять равным нулю.

8. Плотность электрического заряда зависит только от координаты по закону . Определить отличные от нуля значения , в которых: а) ; б) . Потенциал начала координат принять равным нулю. Параметры и положительные постоянные.

9. Шар радиусом имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния до его центра как , где положительная константа. Полагая, что иных зарядов в пространстве нет, найти: а) значение , при котором модуль напряженности поля принимает максимальное значение ; б) величину .

10. О пределить объемную плотность электрического заряда в пространстве, если координатная зависимость потенциала: а) ; б) . Здесь расстояние от начала декартовых координат, , и положительные постоянные.

1. Небольшой шарик массой и зарядом , подвешенный на тонкой шелковой нити длиной , находится в горизонтальном однородном электрическом поле величиной (рис.1.8). Определить равновесный угол отклонения нити .

2. Два заряда и закреплены в точках с координатами и . Какую работу совершат силы поля, создаваемого этими зарядами, при удалении пробного заряда из начала координат на бесконечность? Как изменится ответ, если оба закрепленных заряда равны ?

3. Найти скорость электрона, ускоренного разностью потенциалов: а) В; б) кВ. В обоих случаях исходную скорость электрона считать равной нулю.

4. Электрон, двигавшийся со скоростью , влетает в однородное электрическое поле , причем вектор параллелен вектору . Определить время остановки электрона. Потерей энергии на излучение пренебречь.

5. Определить минимальное расстояние , на которое могут сблизиться два протона. В исходном состоянии, когда протоны далеки друг от друга, один из протонов неподвижен, а другой имеет скорость м/с, направленную вдоль линии, соединяющей частицы.

11. Ч астица массой , несущая на себе положительный заряд , движется по направлению к центру удаленной сферы массой и радиусом , на поверхности которого равномерно распределен положительный заряд . В сфере проделаны отверстия, размеры которых позволяют частице пролететь насквозь (рис.1.9). Предполагая, что начальная скорость частицы достаточно велика, чтобы достичь поверхности, определить время пролета частицы внутри сферы. В исходном состоянии сфера неподвижна. Размеры частицы равно, как и диаметры отверстий, весьма малы по сравнению с радиусом сферы.

12. Каждая из двух частиц, изображенных на рис.1.10, имеет массу и электрический заряд . В исходном положении одна из частиц неподвижна, а другая движется со скоростью . Определить минимальное расстояние между частицами в их последующем движении. Параметр , называемый «прицельное расстояние», считать известным.