4.4. Приближенные вычисления пути, скорости, ускорения поршня

При расчете коленчатого вала на крутильные колебания и анализе уравновешенности двигателя выражения для определения S, V, j желательно иметь в виде функции только угла поворота коленчатого вала φ.

Из анализа рис. 4.2 следует, что

;

. (4.16)

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством , получим

. (4.17)

Разложим выражение (4.17) в ряд по формуле бинома Ньютона, получим

(4.18)

При λ = 0,25 и второй член разложения составляет от первого 3 % , а третий 0,05 %. Поэтому с достаточной для практики степенью точности считаем, что

. (4.19)

Преобразуем выражение (4.3) . Для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые следующим образом:

.

Тогда с учетом выражения (4.19) получим

Так как , то

. (4.20)

Формула (4.20) показывает, что перемещение поршня можно условно представить состоящим из 2-х гармонических перемещений , где − перемещение поршня первого порядка, если бы шатун имел бесконечно большую длину, зависящую от величины радиуса); − перемещение поршня второго порядка или дополнительное перемещение, зависящее от конечной длины шатуна и определяемое вторым членом бинома.

Для приближенных расчетов изменения хода поршня выражение (4.20) можно представить в упрощенном виде

. (4.21)

Полный ход поршня от ВМТ до НМТ останется без изменения и будет равен 2R. Незначительно изменятся промежуточные значения хода поршня в результате отсутствия влияния отклонения шатуна от оси цилиндра на перемещение поршня. Считаем, что шатун имеет бесконечно большую длину.

Для определения хода поршня необходимо знать значение cos φ при различных углах поворота кривошипа φ. В табл. 4.4 приведены значения cos φ для некоторых углов φ.

Таблица 4.4

Значения функции cos φ

φ, град	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	330	360
cos φ	1	0,86	0,5	0	-0,5	-0,86	-1	-0,86	-0,5	0	0,86	1

Определив путь по формуле (4.20), находим скорость и ускорение поршня как первую и вторую производную пути по времени. При этом воспользуемся таблицей производных (табл. П.1.1) и формулами (4.4), (4.11).

.

Таким образом,

. (4.22)

Рассуждая аналогично, найдем ускорение поршня как первую производную скорости или вторую производную перемещения. По формуле (4.11): Следовательно,

.

Таким образом,

. (4.23)

В результате проделанной работы мы осуществили вывод формул для определения пути, скорости, ускорения поршня в зависимости от угла поворота коленчатого вала с использованием производных, а также показали их практическое применение.