Математичні моделі безвідмовності.
Імовірноснті закони розподілу випадкової величини Т будемо називати математичною моделлю безвідмовності об'єкта.
Експоненціальний розподіл часу безвідмовної роботи.
Для
періоду нормальної експлуатації
характерна дуже повільна зміна
.
Практично вважається, що
.
Тоді
.
Це і є експоненціальний закон розподілу Т. Звідси знаходимо
;
,
.
З
урахуванням останнього:
.
Зокрема,
при
знаходимо:
.
Таким чином, наробіток до відказу для експоненціального закону – це час, протягом якого імовірність безвідмовної роботи зменшиться в е раз.
Знайдемо
умовну імовірність
того, що об'єкт проробить безвідмовно
на інтервалі часу
,
що випливає за інтервалом
,
на якому він уже проробив безвідмовно.
З обліком (24) знаходимо
.
Отже,
умовна імовірність
.
Тобто, імовірність безвідмовної роботи
об'єкта протягом заданого відрізку часу
не залежить від того, скільки часу об'єкт
проробив до початку заданого відрізку.
Ця властивість характерна тільки для
експоненціального закону.
З цієї властивості випливає важливий для практики наслідок – при циклічній роботі об'єкта (вмикання - вимикання) імовірність буде змінюватися так, як показано на рисунку 7. У цьому немає нічого парадоксального. Експонентний закон справедливий тільки для раптових відказів, тобто передбачається, що поступові відкази (знос, старіння і т.д.) відсутні. Поступові відкази відповідають нормальному закону, їх можна пророкувати і попереджати.
2.Нормальний розподіл.
Щільність імовірності часу безвідмовної роботи при нормальному розподілі має вигляд
,
Рисунок 7
де
– дисперсія випадкового часу безвідмовної
роботи.
Імовірність відказу на інтервалі дорівнює
,
,
де табулюванний інтеграл Лапласа
.
Модель
нормального розподілу має істотний
недолік – функція відмінна від нуля
при
.
Графічно
нормальний розподіл зображено на рисунку
8, із якого видно, що чим більше відношення
,
тим менше ліва галузь заходить в область
негативних значень t.
Цим недоліком нормального розподілу
можна знехтувати за умови
.
Для практики звичайно, досить, щоб
.
При цьому немає необхідність усікати
закон розподілу на інтервалі
.
У противному випадку використовують
так званий усічений нормальний закон
розподілу.
3.Пуассонівський потік відказів.
Закон
Пуассона описується виразом
і дозволяє обчислити ймовірність того, що на інтервалі відбудеться точно n відказів.
Рисунок 8
Потоки відказів, що відповідають цьому закону, називаються пуассонівськими.
Середнє значення к-ті відказів на інтервалі дорівнює
.
Параметр
потоку відказів
дорівнює
і збігається з інтенсивністю відказів.
Відзначимо наступні властивості Пуассонівського потоку відказів:
- Пуассонівський потік - найпростіший потік відказів, тобто стаціонарний, ординарний потік без післядії;
– якщо
інтервал між відказами підкоряється
експоненціальному розподілу з параметром
,
то розподіл імовірностей к-ті відказів
на інтервалі
діє за законом Пуассона з параметром
.
З цих двох властивостей випливає, що якщо потік є стаціонарний і без післядії, то тривалість безвідмовної роботи підкоряється експоненціальному закону.