1.2.3 Логические операции. Логические «и» и логическое «или».

Т ак же, как и в случае числовых величин, из логических величин (утверждений) можно формировать логические выражения. Если в случае чисел для формирования выражений мы пользуемся алгебраическими действиями сложения и умножения, то при формировании логических выражений мы пользуемся логическими действиями «или» и «и». Алгебраические операции обозначаются символами «+» и «», соответственно логические операции обозначаются символами «» и «». Разъясним смысл логических операций.

Логическое выражение А  В (А или В) принимает значение «истина» для всех случаев, когда истинна хотя бы одна из входящих в выражение величин. Можно это описать и таким образом А  В = «ложь» тогда и только тогда, когда и А = «ложь» и В = «ложь» одновременно.

Геометрически это означает, что множество истинности выражения А  В (А или В) есть объединение множеств истинности обоих высказываний (обратите внимание на сходство символов «» и « »)

Р ассмотрим теперь ситуацию для логического умножения – операции «логическое и». Логическое выражение А  В (А и В) принимает значение «истина» для всех случаев, когда обе входящие в выражение логические величины истинны одновременно и только для таких случаев.

Геометрически это означает, что множество истинности выражения А  В (А и В) есть пересечение (общая часть) множеств истинности обоих высказываний (обратите внимание на сходство символов «» и « ») – ведь для истинности выражения необходимо, чтобы оба высказывания А и В были истинны одновременно.

Упражнение 1.3 Попробуйте записать с помощью кванторов следующие утверждения:

1. Квадрат любого вещественного числа, не равного нулю, есть число положительное.

2. Из каждого положительного числа можно извлечь квадратный корень.

3. Целое число n делится на 6, не используя символ «6»

4. Английскую поговорку: «Всё, что не Трафальгар-сквер, есть Стрэнд или Пикадилли»⁷

1.2.4 Логические операции. Отрицание (логическое «не»)

Есть еще одна важная логическая операция, ее алгебраическим аналогом является изменение знака выражения, – это операция «не», логическое отрицание (символом операции «не» является «») Т.е отрицанием утверждения А является А, «не А». По определению утверждение А истинно тогда и только тогда, когда утверждение А ложно и наоборот, там, где А истинно, там А непременно ложно.

П осмотрим теперь на смысл операции «не» с точки зрения множества истинности высказываний. При этом следует иметь в виду, что мы всегда проводим свои рассуждения в некотором множестве допустимых значений: множество всех чисел, всех треугольников, всех возможных событий и т.п. Такое множество всех возможных значений, для которых наши высказывания имеют смысл, мы будем обозначать символом Е. Тогда множество истинности для высказывания «не А» образуют все те элементы Е, которые в А не попали, естественно ввести обозначение А = Е – А.

Очевидным образом, получим для операции «не» следующие свойства:

А  А = Е

А  А = 

Т.е. высказывание «А или не А» всегда истинно, а «А и не А» всегда ложно.

Действительно, человек, пьющий только в двух житейских ситуациях: или когда есть кислая капуста на закуску, или когда ее нет, пьет всегда (высказывание всегда истинно).

Важное замечание!! В обыденной речи союз «и» часто употребляется там, где с точки зрения логических операций должно стоять «или»; типичный случай такого употребления доставляют нам перечисления. Фраза «Мебель это столы и стулья, и шкафы» формально записывается так: {Мебель}={столы} {стулья} {шкафы}, или на языке утверждений: (x{Мебель})=(x{столы})(x{стулья})(x{шкафы}). Вполне очевидно, что употреблению союза «и» в этом тексте соответствует логическое «или» – . Обнаружить это можно, заменяя в тексте «и» на «или» – если смысл при этом не меняется, значит мы столкнулись именно с такого рода употреблением слова «и». Ясно, что в разбираемой фразе такая замена допустима, так же как в фразе о кислой капусте можно произвести обратную замену с полным сохранением смысла «он пьет только в двух житейских ситуациях: когда есть кислая капуста на закуску и когда ее нет» – здесь мы конструкцию «или...или» заменили на «и» – в обычном языке смысл абсолютно не изменился. Следовательно, анализируя фразы обычного языка, всегда нужно отслеживать мерцание смысла «и – или».▄

Известно, как много доказательств в математике начинаются словами «Допустим противное. Пускай...» – далее формулируется утверждение, противоположное утверждению теоремы, и доказывается, что оно не соответствует действительности. Но чтобы воспользоваться такой схемой нужно уметь формулировать утверждение, противоположное утверждению теоремы. А это не всегда выглядит такой уж простой задачей.

Однако применительно к формализованной записи утверждений можно руководствоваться при формулировке отрицания следующими правилами:

- все, каждый,  меняется на существует, 

- существует,  меняется на все, каждый, 

- или,  меняется на и, 

- и,  меняется на или, 

- утверждение меняется на отрицание

Приведем некоторые примеры:

Утверждение	Отрицание
Сумма углов любого треугольника равна двум прямым	Существует треугольник, сумма углов которого не равна двум прямым
При любых значениях n > 2 не существует целых положительных x,y, z для которых равенство xn + yn = zn было бы справедливым (Великая теорема Ферма).	Существует n > 2 такое, что найдутся (существуют) целые положительные x,y, z для которых равенство xn + yn = zn будет выполнено
Все принятые на работу секретарши либо очень компетентны, либо блондинки	Среди принятых на работу секретарш найдется (существует) такая, что она не компетентна и не блондинка («или» заменено на «и», «все» на «существует»).
Все девушки, удачно вышедшие замуж, красавицы и умницы	Среди девушек, удачно вышедших замуж, найдется хотя бы одна такая, что она некрасива или неумна («и» заменено на «или», «все» на «существует»).

Как видим, приведенный нами набор правил сильно упрощает ситуацию, позволяя превратить построение отрицания к данному утверждению в процедуру почти формальную (если формулировка записана в кванторах, то процедура вполне формальна, и с ней прекрасно справляются компьютеры).