2. Числа

2.1 Целые и рациональные числа

2.1.1 Целые числа

Изучение математики обычно начинают со знакомства с числами. При этом для первоклассника числа – это такая штука, с помощью которой считают. Именно такие числа, предназначенные для того, чтобы считать яблоки и мальчиков, возникли первыми не только педагогически, но и исторически. Сейчас числа 1, 2, 3, 4 и т.д., числа, которыми считают предметы, называют натуральными.

Для этих чисел вводятся две операции: сложение и умножение. Свойства этих операций изучают в перовом классе, и наверное поэтому студенты первого курса обычно не могут эти свойства сформулировать – первый класс был давно. Мы постараемся этот пробел восполнить и сформулировать аксиомы для чисел. Но сначала немного поговорим о числах без аксиом.

Первая неприятность с натуральными числами обнаружилась, когда придумали операцию, обратную сложению (её обычно называют вычитанием). Дело в том, что вычесть из одного натурального числа другое можно не всегда; для первокурсников, уже сильно обогнавших первоклассников, поясню – вычесть можно не всегда, оставаясь внутри множества натуральных чисел. Вычесть из пяти три – можно, а из пяти семь – нельзя, даже и из пяти пять вычесть уже нельзя, если располагаешь только множеством натуральных чисел: 1, 2, 3, 4..., т.к. нет натурального числа, которое равнялось бы числу (5 –5).

Этот же факт можно выразить на более современном языке: уравнение, типа x + a = b не всегда имеет решение во множестве натуральных чисел.

Это затруднение математики преодолели, расширив числовое множество до множества целых чисел: ...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3... Это было очень трудной задачей, и решение ее далось людям очень нелегко, особенно трудным оказалось введение нуля – как это: число, которое обозначает ничто, отсутствие предмета? Нуль оказался очень трудным понятием. Тем не менее, задача была решена, люди открыли для себя целые числа. Множество целых чисел, как говорят математики, «замкнуто относительно сложения». Это означает, что всякое уравнение типа x + a = b с любыми целыми коэффициентами a и b всегда имеет опять таки целое решение.

Но с умножением дело обстояло не так благополучно. Нет, любые целые числа можно было умножать, т.е. в результате опять таки получалось целое число. Но обратная операция не всегда оказывалась выполнимой во множестве целых чисел. Поэтому уравнение x  a = b оказывалось разрешимым не при всяких целых a и b; при a= 2 и b = 6 уравнение решалось, а вот при a= 2 и b = 5 уравнение уже не решалось. Назрела необходимость нового расширения множества чисел – появились дроби. Но дробь – очень сложный объект, я думаю, ничего сложнее дроби в школьной математике нету. Попробуем разобраться – что же такое дробь?

2.1.2 Дроби.

Итак, наша задача так расширить понятие числа, чтобы деление одного числа на другое было возможно всегда. Двинемся малыми шагами.

1. Шаг первый. В множестве целых чисел 5 на 2 не делится. Ну и ладно – просто введем отношение 5 к 2 как новое число, так его и запишем: Т.е новые числа записываются как отношения (дроби). Но теперь для этих отношений следует определить правила сложения и умножения.

2. Правила умножения и деления получаются очень простыми. Чтобы умножить две дроби нужно помножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Делить дроби тоже просто: делитель нужно перевернуть (поменять у делителя числитель и знаменатель местами), после чего делимое умножить на перевернутый делитель. Очень простые правила, и всегда выполнимые. Т.к. произведение дробей всегда дробь и частное дробей всегда дробь.

3. Шаг второй. Но очень важно, вводя новые числа, не потерять старые! Наши старые друзья – целые числа должны включиться в новые числа как неотъемлемая часть. Это означает, что среди дробей следует выделить группу однозначно связанную с целыми числами, т.е. такую, чтобы каждому целому соответствовала одна и только одна дробь.

4. Ну, это просто. Все целые числа можно рассматривать как отношения (дроби) со знаменателем 1. Т.е. 5= , и это снимает проблему. Однако такого соответствия мало. Нужно чтобы и результаты соответствовали. Т.е. результат любой операции с целыми числами и с представляющими их дробями всегда оказывались одинаковыми (соответственными по правилу: целое есть дробь со знаменателем единица и числителем, равным целому).

Заметим, что по правилу умножения дробей при этом умножение целых всегда приводит к целому Но т.к. мы договорились, что дроби со знаменателем единица – это целые числа, то наша запись ничем в принципе не отличается от записи 5  7 = 35. С умножением все в порядке.

5. И с делением целых вроде бы все нормально, переворачивай делитель и потом умножай, но за одним важным исключением. НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ! Мы еще будем разбирать, почему так получается, а пока рассматриваем это как правило: на ноль делить нельзя!

И есть еще парочка моментов, связанных с делением, которые нужно рассмотреть раньше, чем мы приступим к сложению дробей.

Во множестве целых чисел справедливо равенство 6:3 = 2. Значит и в области дробей должно быть справедливым равенство Но по правилу деления дробей поделить означает умножить на перевернутую дробь . А должно ведь быть !

А получить из можно «сократив» дробь, т.е. разделив числитель и знаменатель на одно и то же число 3. Отсюда мы получаем правило: числитель и знаменатель дроби можно поделить на одно и то же целое число (если деление выполнимо нацело). Однако если можно поделить (т.е. при делении дробь не изменится), значит и обратная операция тоже не изменяет дробь; раз то конечно и

Отсюда важное правило: числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же целое число – дробь при этом не изменится. Т.е. требование соответствия целых чисел дробям со знаменателем единица привели нас к двум важным правилам равенства дробей.

6. Шаг третий. Давайте осмыслим, что же у нас получилось. У нас есть правило, гласящее, что умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет величины дроби. Отсюда получилось у нас вот что: строго говоря, отношение не есть число (дробь). Дробью является вся совокупность равных друг другу отношений: и так до бесконечности. Вот только все вместе они и есть дробь (такая совокупность равных друг другу объектов называется класс эквивалентности). Дробь – это только все эти отношения вместе, а одно из таких отношений разумно рассматривать как одну форму записи дроби или одного представителя класса. Вот при таком понимании у нас все сходится.

Разумно считать основным представителем дроби ту запись, которая выглядит проще всех – это запись с самым малым знаменателем, то, что в школе называли «несократимая дробь». Тогда целым числом является тот класс, у которого есть представитель с единицей в знаменателе; легко обнаружить, что у «настоящих дробей» представителя с единицей в знаменателе нет.

Отступление: о понятном и привычном. Вот какой непростой штукой оказалась дробь. Хотелось бы отметить – мы ничего не усложняли – мы только выявили ту сложность, которая была присуща дроби с самого начала. Она и в школе была. Просто в школе приучают – делайте так, и все будет хорошо. И ученики привыкают. Но привычное вовсе не значит понятное. Все умеют пользоваться телевизором – но отсюда очень далеко до четкого понимания вопроса: а как телевизор работает?

7. Шаг четвертый. А вот теперь проблема сложения и вычитания дробей решается просто. Дело в том, что есть очень простое правило для сложения и вычитания дробей: если знаменатели одинаковые, то можно просто сложить/вычесть числители, и получится правильный ответ. Заметим, что т.к. у всех целых одинаковый наименьший знаменатель – единица, то и здесь действия всегда выполнимы и результаты соответствуют результатам действий с целыми числами: 7 – 11 = –4 аналогично у дробей .

А как поступать в ситуации, когда знаменатели различны, например как вычислить сумму ? А вот тут как раз и время вспомнить, что дробь это целый класс отношений. И всегда можно в наших двух классах выбрать представителей с одинаковыми знаменателями. Например так:

первый класс – ...

второй класс – ....

Как мы видим, представители с одинаковыми знаменателями в наших классах есть, и мы можем выполнить сложение – вот и наш ответ. Конечно, мы сейчас обсуждали только теоретические основы действий с дробями, как выполнять действия с дробями практически мы обсудим несколько позже.