1.2.5 Необходимо и достаточно, влечет и следует

В формулировках теорем слова «необходимо», «достаточно», «следует» встречаются очень часто. Попробуем разобраться, как они связаны между собой и как они выглядят с точки зрения множеств истинности (картинка в сегда помогает).

Если говорят, что «утверждение А достаточно для утверждения В», это означает, что если А истинно, то В заведомо истинно. Значит утверждение «А достаточно для В» имеет смысл, аналогичный утверждениям «из А следует В» или «А влечет В». Соответственно, через кванторы это запишется так: А  В или так: В  А (В следует из А).

Из того факта, что при истинности А заведомо истинно В, немедленно следует, что множество истинности утверждения А целиком принадлежит множеству истинности утверждения В : {x: A(x) = .t.}  {x: B(x) = .t.}

Рассмотрим теперь смысл термина «необходимо». Если говорят, что «утверждение В необходимо для утверждения А», это означает, что если В НЕистинно, то А заведомо НЕистинно.

Иначе это же утверждение можно сформулировать так: если В для А необходимо то не В для не А достаточно.

Геометрически ясно, что все эти формулировки будут выполнены при одном условии: множество истинности утверждения А целиком принадлежит множеству истинности утверждения В. Если это выполнено, то А для В достаточно и В для А необходимо. Одновременно для отрицаний это означает, что А для В необходимо, а В для А достаточно; для отрицаний достаточность и необходимость меняются местами. Это ясно из следующих соображений: Чем больше множество А, тем меньше множество А, ведь оно представляет собой дополнение А: А = Е – А (напомню, что означает все пространство, в котором мы рассматриваем задачу).

Если А для В необходимо и достаточно, то получается, что и множество истинности А принадлежит множеству истинности В, и наоборот – множество истинности В принадлежит множеству истинности А. Значит множества истинности А и В совпадают, и это эквивалентные утверждения ((АВ)(ВА))  (АВ).

Таким образом, находим что «необходимо и достаточно» есть синоним «эквивалентно».

Рассмотрим некоторые простые примеры. Для того, чтобы число делилось на 6 необходимо, чтобы оно делилось на 3. По нашему определению, слово «необходимо» означает, что если условие не выполнено, то и свойства нет, необходимость – синоним достаточности отрицания. Действительно, если число на 3 не делится, то оно и на 6 не делится. Значит, делимость на 3 признак необходимый. Необходимый, но не достаточный. Если бы признак был достаточным, то каждое число, которое делится на 3, делилось бы и на 6. Но 9 на 3 делится, а на 6 нет. Значит делимость на 3 для делимости на 6 признак необходимый, но не достаточный.

А вот делимость на 36 признак достаточный, но не необходимый. Т.е число, которое делится на 36, на 6 заведомо делится. Но не всякое число, которое делится на 6, обязано делиться на 36 (например 12).

А вот признак необходимый и достаточный: для того, чтобы треугольник был равнобедренный необходимо и достаточно, чтобы у него углы при основании были равны. Действительно, у всех равнобедренных треугольников углы при основании равны, но верно и обратное: у всех треугольников, с равными углами при основании, боковые стороны тоже равны.

Для того, чтобы уяснить себе соотношение между терминами «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно», рекомендуется выполнить следующее упражнение.

Упражнение 1.4 Ниже приведен список предложений такой структуры: для утверждения А утверждение В, – а далее для каждого из предложений следует вписать один из трех вариантов: «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно».

Например: 1. для делимости на 6 (...), чтобы число делилось на 3 – ясно, что следует вписать «необходимо».

1. для делимости на 5 (...), чтобы число оканчивалось на 5

2. для того, чтобы быть родственником, (...) быть сыном

3. чтобы четырехугольник был квадратом (...), чтобы все стороны были равны

4. чтобы выиграть чемпионат страны по футболу, (...) набрать больше всех очков

5. чтобы получать доход от акций (…) быть владельцем акций или иметь права пользования

6. чтобы число х было корнем функции f (...), чтобы f(x) = 0

7. для положительных a,b, c,d чтобы дробь была больше дроби (...), чтобы

8. чтобы стать богатым (...) получить солидное наследство

9. чтобы (...), чтобы

10. чтобы перестать проигрывать в казино (...) перестать туда ходить

11. чтобы многочлен был многочленом второй степени (...), чтобы коэффициент при х² был не равен нулю

12. чтобы линия была прямой (...), чтобы длина ее фрагмента между любыми двумя ее точками была наименьшей из всех линий, соединяющих эти точки