Ламинарный режим движения

Ламинарный режим течения в трубах соблюдается при Re_d  2300. В отсутствии турбулентных пульсаций элемент тензора вязких напряжений выражает поток импульса за счет лишь молекулярного механизма переноса

(49)

В рассматриваемом случае частная производная может быть заменена полной, т.к. скорость W_x от других переменных не зависит ( - стационарность, (46), - осесимметричность). Подставим (49) в (45), разделим переменные и проинтегрируем, предполагая, что , dP/dx = const, получим

(50)

Константу интегрирования С определим из граничного условия равенства нулю скорости жидкости W_x на стенке трубы r = R, W_x = 0, тогда

(51)

или для равномерного движения с учетом (46)

(52)

В соответствии с (52) максимальная скорость достигается на оси потока при r =0

(53) (54)

Таким образом зависимость W_x(r ) имеет параболический характер. Следует однако напомнить, что полученное решение справедливо лишь в области стабилизированного течения ( ). Решения, полученные в приближении пограничного слоя, определяют длину участка гидродинамической стабилизации при ламинарном режиме течения

(55)

Таким образом для Re = 210³ длина участка гидродинамической стабилизации может достигать 100 диаметров.

Средняя по сечению скорость соответствует половине максимальной (рис. 15). Используя (53) можно связать среднюю скорость с разностью давлений Р

(56)

Учитывая выражение для объемного расхода можно получить уравнение, которое носит название Гагена - Пуазейля

(57)

По этому уравнению можно найти объёмный расход жидкости, зная перепад давлений на стабилизированном участке трубы длиной и наоборот - потерю давления по известному расходу.

Рис. 15. Профиль скорости при ламинарном стабилизированном течение в цилиндрической трубе.

Решив уравнение (56) относительно р, можно найти потерю давления трубопровода по известной скорости

(58)

или (59)

где - коэффициент трения при ламинарном движении в трубе. Или в критериальном виде

(60)

Турбулентный режим течения

Для труб круглого сечения переход от ламинарного режима к турбулентному начинается при Re_d > 2300, а для Re_d > 10⁴ реализуется развитое турбулентное течение. Решим задачу определения полей скорости, давления и тензора напряжений (потока импульса) как и в случае ламинарного движения. Использовав координату y = R - r, элемент тензора вязких напряжений (поток импульса W_x в направлении r за счет молекулярного и турбулентного механизмов переноса) можно записать

(61)

Далее в данном разделе не будут указываться индексы при обозначении . Основная сложность описания турбулентного движения заключается в отсутствии строгих теоретических соотношений для коэффициента турбулентной вязкости _т, который к тому же является функцией поля скорости. По аналогии с длиной свободного пробега молекул газа Прандтлем введено понятие пути смешения , характеризующее расстояние, на котором турбулентный вихрь перемещаясь сохраняет свою индивидуальность. С учетом этого

(62)

Рис. 16. Профиль скорости при турбулентном стабилизированном течении в цилиндрической трубе: 1 - вязкий подслой; 1+2 - пристенная область; 2+3 - турбулентная область.

Воспользуемся наиболее простой двухслойной моделью пристенной турбулентности Прандтля. Учитывая, что интенсивность турбулентных пульсаций от ядра потока к стенке снижается до нуля и в непосредственной близости от стенки преобладающим механизмом переноса импульса является молекулярный ( > _т ), можно подразделить пристенную область (y << R) (y / R < 0.1) на две подобласти. В первой из них, называемой вязким (ламинарным) подслоем (y < _1,г) учитывается только молекулярный механизм переноса импульса, а во второй (y > _1,г) - только турбулентный (рис.16). Поток импульса во всей пристенной области считается постоянным и равным потоку импульса на стенке  = const = _c. Для удобства записи вводится понятие динамической скорости , связанной простым соотношением с _c

(63)

В вязком подслое толщиной _1,г можно интегрированием уравнения потока импульса найти поле скорости, определив константу интегрирования С₁ из граничного условия W_x = 0 при y = 0

(64)

где y* - безразмерная поперечная координата.

Для пристенной области вне вязкого подслоя (y > _1,г) длина пути смешения полагается прямо пропорциональной расстоянию от стенки. Тогда

(65) (66)

Постоянную С₂ можно определить при

(67) (68)

Для получения явного вида поля скорости необходимо знание двух параметров , *_1,г. Они могут быть найдены методом сопряженного физического и математического моделирования, либо непосредственно из эксперимента. Как следует из многочисленных опытных данных, найденный логарифмический профиль скорости (66), (68) является универсальным, т.е. справедлив для любых Re_d > 4  10³ с постоянными значениями параметров  = 0,4; *_1,г = 11,6. Тогда окончательно для пристенной области имеем

; (69)

Существуют и более сложные зависимости для поля скорости: трех - и четырехслойные модели. Мы же ограничимся рассмотрением простейшей. Экспериментальные данные свидетельствуют, что несмотря на зависимость потока импульса от радиуса трубы (  const), для турбулентного потока вне пристенной области (r / R < 0,9) логарифмический профиль скорости (69) соблюдается вплоть до оси трубы (r = 0), где скорость W_x = W_x,max.

Проведя ряд преобразований можно связать W_x или Re_d с коэффициентом гидравлического трения

(70)

Многочисленные опытные данные подтверждают возможность использования формулы (70) в диапазоне 410³ < Re < 10⁷ и говорят о лучшем согласии с экспериментом при замене коэффициента 0,91 на 0,8, что дает поправку для _г менее 4%. Некоторое неудобство соотношений (69) и (70) заключается в неявном виде зависимостей _г(Re_d). Поэтому на практике часто используются эмпирические явные выражения _г, работоспособные в более узких интервалах чисел Re_d. Так заменив логарифмический профиль скорости (69) степенным с показателем 1/7, приемлемым для интервала 410³ < Re_d < 10⁵, можно получить соотношение, аналогичное эмпирической формуле Блазиуса (6.105), отличающейся лишь коэффициентом 0,343. Для лучшей сходимости с экспериментом результатов, найденных с использованием профиля скорости (6.104) вместо (6.88), необходимо несколько увеличить толщину вязкого подслоя (_1,г>11,6).

(71) (72)

Из (72) можно получить явное выражение для коэффициента импульсоотдачи и гидродинамического критерия Нуссельта

(73) (74)

При увеличении критерия Re_d от 410³ до 10⁷ уменьшается отношение следующих величин: толщины вязкого подслоя и радиуса трубы _1,г/R; сопротивлений переносу импульса в вязком подслое и в турбулентной области от; максимальной и средней скорости в трубе . Для ламинарного течения . Участок гидродинамической стабилизации для турбулентного режима движения составляет .

Таким образом, решена задача гидродинамики и для турбулентного стабилизированного движения в цилиндрической гладкой трубе. Однако при этом уравнения движения и неразрывности пришлось дополнить соотношениями для _т в рамках модели пристенной турбулентности Прандтля.

На практике дело приходится иметь не только с гладкими, но и с шероховатыми трубами. Под шероховатостью понимают неоднородность поверхности, вид которой зависит от материала труб, способа их изготовления и эксплуатации. Степень шероховатости  (относительная шероховатость) характе-ризуют отношением средней высоты бугорков  (абсолютная шероховатость) к внутреннему диаметру трубы d. Для новых стальных труб , чугунных , у старых загрязненных труб значения  достигают 2 мм.

При ламинарном режиме движения шероховатость труб практически не влияет на коэффициент трения _г. Для турбулентного режима можно выделить три области влияния шероховатости на гидравлическое сопротивление трубопровода. В области гладкого трения высота бугорков значительно меньше толщины вязкого подслоя  << _1,г , они плавно обтекаются потоком и шероховатость не влияет на коэффициент трения _г. При увеличении Re_d толщина вязкого подслоя уменьшается и становится соизмеримой с величиной абсолютной шероховатости (область смешанного трения). Вокруг бугорков начинается вихреобразование, что приводит к потерям энергии потока и дополнительному увеличению коэффициента трения _г, величина которого в области смешанного трения зависит от Re_d и . При дальнейшем увеличении критерия Рейнольдса толщина вязкого подслоя становится значительно меньше высоты бугорков  >> _1,г, коэффициент трения _г практически перестает уменьшатся и зависеть от критерия Re_d и определяется лишь шероховатостью труб (автомодельная область).

Все результаты получены при допущении о постоянстве теплофизических характеристик среды:  = const. Однако если движение сопровождается тепло - или массоотдачей, то такие допущения неправомерны, так как  и  становятся зависимыми от температуры или концентрации среды. В этом случае поля скорости, температуры и концентраций оказываются взаимозависимы. Аналитическое решение получить, как правило не удается и учет влияния тепло - массообмена на гидродинамику производится с помощью эмпирических поправочных множителей, приводимых в справочной литературе.