5.3. Бесконечно малые последовательности и их свойства

Определение 1. Последовательность {y_n}, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой последовательностью или просто бесконечно малой.

Если в определении предела последовательности положить   , то неравенство (1.8) примет вид |y_n – 0| = |y_n|   (для n > n_).

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой последовательности можно сформулировать и без упоминания термина предел.

Определение 2. Последовательность {y_n} называется бесконечно малой, если ее значения y_n по абсолютной величине становятся и остаются меньшими сколь угодно наперед заданного числа   , начиная с некоторого номера n_ , зависящего от  : |y_n|   , лишь только n > n_ .

В дальнейших теоремах нам придется рассматривать одновременно две (или больше) последовательности, сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом знаки относятся к соответствующим значениям последовательностей. Говоря, например, о сумме двух последовательностей {x_n} и y_n}, которые принимают соответствующие значения x₁, x₂, x₃,...,x_n, и y₁, y₂, y₃,...,y_n будем иметь в виду последовательность {x_n + y_n}, принимающую последовательность значений x₁ + y₁,…, x_n + y_n , …

Теорема 1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых последовательностей есть также последовательность бесконечно малая.

Доказательство теоремы опускаем.

Теорема 2. Последовательность {x_n  _n}, представляющая собой произведение ограниченной последовательности {x_n} на бесконечно малую последовательность {_n}, есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство. Пусть для всех значений n |x_n| < , где   . Если задано произвольное число   , то по числу для бесконечно малой {_n} найдется такой номер n_ , что для n > n_ будет _n  . Тогда для тех же значений n очевидно, x_n  _n = x_n  _n     =  . Отсюда и следует, что последовательность {x_n  _n} есть бесконечно малая.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на последовательность, имеющую конечный предел, есть последовательность бесконечно малая.

Действительно, так как последовательность имеет конечный предел, то она ограничена и тем самым выполнены условия теоремы.

Теорема 3. Для того чтобы последовательность {y_n} имела своим пределом постоянное число , необходимо и достаточно, чтобы существовала такая бесконечно малая последовательность {x_n}, что

y_n =  + x_n . (1.9)

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {y_n} имеет предел . Это означает, что для любого   существует такое n_ , что  n > n_ выполняется неравенство |y_n  | < .

Обозначим y_n –  = x_n. Тогда  n > n_ |x_n| < , т.е. lim x_n = 0. Следовательно, последовательность {x_n} бесконечно малая. Таким образом, lim y_n =  , где {x_n}  бесконечно малая последовательность.

Достаточность. Пусть последовательность {y_n} представлена в виде (1.9), где lim x_n = 0. Это означает, что  n_ , что  n > n_ выполняется неравенство |x_n| < . Из равенства (1.9) x_n = y_n – . Тогда  n > n_ справедливо неравенство |y_n  | < , откуда по определению lim y_n = . Таким образом, y_n = + x_n lim y_n = .

Теперь окончательно заключаем: lim y_n =  y_n =  + x_n.

Условие (1.9) можно прочитать так: любой член сходящейся последовательности равен сумме предела последовательности и соответствующего члена бесконечно малой последовательности.

Замечание. Если для бесконечно малой последовательности {x_n} использовать второе из приведенных выше определений без упоминания термина "предел", то теорема 3 позволяет дать для понятия "предел" другое определение (равносильное старому).

Определение 3. Постоянное число  называется пределом последовательности {y_n}, если существует такая бесконечно малая последовательность {x_n}, что y_n =  + x_n.

Примеры. 1. Рассмотрим последовательности, общие члены которых заданы формулами: , где k – любое положительное число, т.е. .

Все три последовательности представляют собой бесконечно малые, т.е. имеют пределом нуль. Действительно, для них , лишь только . Таким образом, в качестве n_ можно взять, например, наибольшее целое число, содержащееся в , т.е. E .

Отметим, что значения первой последовательности все время больше своего предела 0, второй  все время меньше его, третьей же – попеременно становятся то больше, то меньше его.

2. Важный пример бесконечно малой дает последовательность {y_n} = {qⁿ}, где |q| < 1. Для доказательства того, что y_n  , рассмотрим неравенство |y_n| = |q|ⁿ <  ; оно равносильно таким: n lg |q| < lg  или .

Знак неравенства изменен на обратный, так как lg |q| < 0. Таким образом, если положить (считая  < 1) n_ , то упомянутое неравенство выполняется и, следовательно, y_n  .

Замечание. Тот факт, что последовательность {y_n}  бесконечно малая, не означает (еcли она не нуль), что в отдельности взятое значение y_n этой последовательности может квалифицироваться как «малое» число. Например, бесконечно малая последовательность {y_n} с общим членом при п = 1 имеет значение y₁ = 100, которое, естественно, не может рассматриваться как «малое» число, близкое к точке «ноль» на числовой оси.