6.2. Односторонние и бесконечные пределы функции

Если область определения Р функции f(x) такова, что в любой близости от х₀, но справа от х₀, найдутся отличные от х₀ значения х из Р (в этом случае точку х₀ называют правой точкой сгущения для Р), то можно специализировать только что данные определения предела функции, ограничившись лишь значениями . В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции f(x) при стремлении х к х₀ справа, или, короче, пределом (в точке х₀) справа и обозначается символом .

Аналогично устанавливается понятие о левой точке сгущения и о пределе функции при стремлении х к х₀ слева или о пределе (в точке х₀) слева: .

Если точка х₀ является одновременно точкой сгущения для Р и правой, и левой, то, как легко установить, для существования предела (1.13) необходимо и достаточно существование порознь и равенство пределов справа и слева:

= = . (1.14)

Когда х₀ = 0, вместо 0 + 0 (0 – 0) пишут +0 (–0).

При стремлении х к конечному пределу х₀ функция может иметь и бесконечный предел (без знака или определенного знака).

Определение 1. Функция f(x) имеет пределом  при стремлении х к х₀ (в точке х₀), если для каждого числа    найдется такое число _  , зависящее от , что

, лишь только (1.15)

(где, как и всегда, х взято из Р и отлично от х₀).

Если при этом функция f(x) для достаточно близких к х₀ значений х сохраняет положительный (отрицательный) знак, так что первое из неравенств (1.15) может быть заменено более узким: f(x)   (f(x)  ), то говорят о пределе +∞ (–∞).

Запись этих фактов аналогична (1.13): .

Для рассмотренного случая могут быть повторены сделанные выше замечания относительно односторонних пределов справа и слева.

Если множество Р содержит сколь угодно большие (по абсолютной величине) значения х (множество Р неограниченно), то говорят, что  является точкой сгущения для Р. В этом предположении дадим следующее определение.

Определение 2. Функция f(x) при стремлении х к ∞ имеет предел , если, каково бы ни было число , для него существует такое число , зависящее от , что

, лишь только , (1.16)

(где х берется из Р). При этом пишут: .

Если рассматриваются лишь положительные (или лишь отрицательные) значения х, то говорят о пределе функции при стремлении х к + (или к –).

Наконец, легко перефразировать все сказанное на случай   , + или –.

При стремлении функции f(x) к нулю ее называют бесконечно малой; ее называют бесконечно большой, если f(x) стремится к . Если последнее обстоятельство имеет место при х  х₀, то говорят также, что в точке х₀ функция обращается в бесконечность.

Пример 1. Рассмотрим функцию

Очевидно, .

Отсюда, на основании (1.14), можно заключить, что не существует.

Пример 2. Докажем, что (при а  1.

При любом    достаточно взять _  log_a , чтобы х > _ влекло за собой а^х  , что и доказывает наше утверждение.

Аналогично доказывается, что (при а  1.

Именно, каково бы ни было , если взять , то при необходимо .

Если же 0 < а < 1, то с помощью преобразования легко установить результаты

(при 0 < а < 1).

Основываясь на этих случаях, можно показать, что (при а > 0 и а  1) и, следовательно, функция f(x) = а^х при х   является бесконечно большой. Однако, если х  – (при а > 1) и х  + (при 0 < а < 1), то функция f(x) = а^х является бесконечно малой.

Пример 3. Руководствуясь примером 2, легко установить, что:

(при а > 1); (при 0 < а < 1);

(при а > 1); (при 0 < а < 1).

Следовательно, функция (при а > 0 и а  1) при х  + и х  +0 является бесконечно большой, т.е. и .

Пример 4. Показать, что функция при х  0 является бесконечно большой, т.е. .

Пусть задано   . Найдем такую _ - окрестность нуля, что при всех х из этой окрестности (х  0) выполняется неравенство .

Рассмотрим неравенство . Из этого неравенства следует:

.

Положив , получим, что, как только , имеем , а это значит, что ∞.

Заметим, что ; . Однако несмотря на это условие (1.14) для существования предела в точке х₀ = 0 считается выполненным   ∞.