5.9. Принцип сходимости последовательности

Зададимся теперь вопросом об общем признаке существования конечного предела любой последовательности, т.е. отысканием такого условия для сходимости последовательности, которое обладало бы свойством необходимости и достаточности.

Поставленную задачу решает теорема Больцано-Коши, которую часто называют также принципом сходимости.

Теорема (Больцано-Коши). Для того чтобы последовательность вообще имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого существовал такой номер , чтобы неравенство выполнялось лишь только .

Суть дела здесь в том, чтобы значения последовательности между собой безгранично сближались по мере возрастания их номера.

Доказательство теоремы опускаем.

Упражнения

1. Доказать, что множество ограничено.

2. Дана последовательность с общим членом .

а) Доказать, что ;

б) Будет ли эта последовательность монотонной?

в) Найдите sup y_n и inf y_n.

3. Дана последовательность с общим членом . Пользуясь вторым определением предела, доказать, что .

4. Доказать, что функции y = sin x и y = tg x периодические и определить их

периоды.

5. Найдите пределы:

а) ; б) ;

в) ; г)

6. Доказать, что

7. Является ли последовательность бесконечно большой?

8. При каких условиях параметрические уравнения:

а) ; б) ; в) ; г)

определяют функцию y = f(x)? Найти явный вид этих функций, а также уравнения F(x, y) = 0, посредством которых эти функции заданы неявно.

§6. Предел числовой функции одного действительного переменного

6.1. Определение и геометрическое истолкование предела функции

Пусть f – числовая функция переменного х, определенная на числовом множестве P, для которого х₀ является точкой сгущения. Нас будет интересовать, как ведут себя значения y = f(x) функции f, когда аргумент х стремится к х₀.

Определение 1 (предел функции по Коши). Постоянное число  называют пределом функции f переменного х при стремлении х к х₀ (или в точке х₀), если для каждого найдется такое число , зависящее от , что , лишь только

(1.12)

где х взято из области определения Р функции f и отлично от точки сгущения х₀ множества Р.

Определение 2 (предел функции по Гейне). Постоянное число  называют пределом функции f переменного х, если для любой последовательности значений аргумента х₁,х₂,…,х_п,… из области определения P функции f, имеющей пределом число х₀ где х₀ может и не принадлежать области Р), последовательность значений функции f(x₁), f(x₂), …, f(x_п), … для этих значений аргумента имеет пределом число , .

Эти два определения предела функции равносильны. Тот факт, что  является пределом функции f(x) при х  х₀, записывают так:

. (1.13)

Геометрическое определение предела функции можно истолковать следующим образом.

Число  является пределом функции f(x) при х  х₀, если для любой -окрестности точки  можно найти такую -окрестность точки х₀, что если значения аргумента взяты из -окрестности (х₀ – , х₀ + ), то значения функции лежат в - окрестности ( –  ,  +  ) (рис.13).

Рис. 13

На рис.13 сплошной кривой показаны точки графика функции f(x), для которых координата (х₀ –, х₀+), а у(– ,+ ). В точке х₀ значение функции может быть и не определено, поэтому эта точка на рисунке выделена кружочком и это означает тот факт, что принадлежность этой точки графику не является обязательным.

Пример. Доказать, что . Пусть задано любое . Найдем такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство . Условие означает, что х  2.

Преобразуем неравенство .

.

Допустим, что функция f(x) определена в некоторой окрестности точки 2, например, (0,4). С учетом этого

или .

Таким образом, если положить , тогда для всех (0,4), для которых выполняется условие , справедливо неравенство , а это означает, что .