Закон Ома в комплексной форме
Поскольку синусоидальные токи и напряжения изображаются векторами, то, совместив начало каждого вектора с началом координат 0 комплексной плоскости, можно утверждать, что конец вектора (точка) является комплексным числом, а длина вектора (модуль комплексного числа) с учетом масштаба представляет собой величину соответствующего тока или напряжения.
Принято обозначать
комплексы токов, напряжений и мощностей
соответствующими буквами с точками
наверху (
),
а комплексы сопротивлений и проводимостей,
которые не являются гармоническими
функциями времени, – подчеркиванием
внизу (Z,
Y).
Рассмотрим переход от параметрического метода расчета к символическому на примере закона Ома для цепи с последовательным соединением активного r, индуктивного xL и емкостного xC сопротивлений. Закон Ома в параметрическом методе (43) записывается в виде:
,
где – полное сопротивление цепи (гипотенуза треугольника сопротивлений), r и соответственно x = xL − xC – активное и реактивное сопротивления цепи как катеты треугольника сопротивлений (рис.23б).
Угол
в треугольнике сопротивлений
– угол сдвига по фазе между током I
и напряжением U
на входе цепи (рис. 23б).
Предположим, что
цепь имеет индуктивный характер (xL
> xC)
и перенесем векторную диаграмму
напряжения и тока в комплексную плоскость,
совместив начала векторов напряжения
и тока
с началом 0 координат +1,
+j.
Очевидно концы векторов
и
(точки) представляют собой комплексы
действующих значений напряжения и тока
(рис. 33).
Рис. 33
Умножив вектор
тока
на вещественное число (скаляр) z,
получим вектор
,
равный по длине вектору
,
но сонаправленный с вектором тока
.
Чтобы получить истинное положение
вектора
на диаграмме (рис. 33), необходимо умножить
вектор
на оператор поворота ej
на угол
в положительном направлении (против
часовой стрелки). Таким образом можно
записать:
(68)
г
(69)
– комплексное сопротивление цепи,
r = zcos = ReZ – активное сопротивление;
x = zsin = ImZ – реактивное сопротивления цепи.
Из равенства (68)
следует:
– закон Ома
для последовательной цепи.
Введем понятие об эквивалентной комплексной проводимости, устранив мнимую единицу j в знаменателе
(70)
где
– активная проводимость;
– реактивная
проводимость;
–
полная
(кажущаяся) проводимость эквивалентной
параллель-
ной цепи.
Очевидно закон Ома для разветвленной (параллельной) цепи имеет вид:
(71)
Сделаем обратный эквивалентный переход от параллельной цепи к последовательной
(72)
где
– активное сопротивление;
– реактивное
сопротивление;
– полное (кажущееся) сопротивление эквивалентной последо-
вательной цепи.
Следует обратить внимание, что при эквивалентных переходах от последовательной цепи к параллельной и наоборот знак реактивной составляющей изменяется на противоположный.
Законы Кирхгофа в комплексной форме
При использовании комплексных чисел возникает полная аналогия записей уравнений по законам Ома и Кирхгофа, а также методов расчета цепей синусоидального тока с цепями постоянного тока, рассмотренных в [2].
В цепях постоянного
тока в уравнения входят действительные
значения E,
U,
I,
r,
а в цепях синусоидального – комплексные
значения
.
Ранее были получены выражения для закона Ома в комплексной форме
– для последовательной цепи;
– для параллельной цепи.
В цепях постоянного тока:
– для последовательной
цепи;
–
для параллельной
цепи.
По аналогии с цепями постоянного тока [2] запишем в комплексной форме законы Кирхгофа:
I
закон:
– алгебраическая
сумма комплексов действующих значений
токов в узле равна нулю.
II
закон:
– алгебраическая
сумма комплексов действующих
значений э.д.с. в замкнутом контуре равна алгебраи-
ческой сумме комплексов падений напряжения в вет-
вях, образующих этот контур.
Приведем в качестве примера, как правильно читается первый закон Кирхгофа для простейшего электрического узла (рис. 11) при использовании аналитического метода, метода векторных диаграмм (графического) и символического метода:
аналитический метод:
– алгебраическая
сумма мгновенных значений токов в узле
равна нулю;
метод векторных диаграмм:
– геометрическая
сумма векторов действующих значений
токов в узле равна нулю;
символический метод:
– алгебраическая
сумма комплексов действующих значений
токов в узле равна нулю.