6. Цепь с индуктивным элементом

Индуктивность L – это параметр устройства, характеризующий способность данного устройства создавать магнитное поле, если по устройству пропустить электрический ток i.

Более строгое определение индуктивности (коэффициента самоиндукции) L можно получить из соотношения

ψ

(15)

= Li,

где ψ – потокосцепление в веберах [Вб = В∙с];

L – индуктивность в генри [Гн = Вб/А] = [В∙с/А]= [Ом∙с];

i – сила тока в амперах [А].

Из равенства (15) следует, что индуктивность L = ψ/i – это коэффициент пропорциональности между потокосцеплением ψ и током i, который это потокосцепление создал (в соответствии с законом Ома для магнитной цепи [2]).

И ндуктивностью обладают в основном катушки и обмотки, расположенные в различного вида магнитопроводах [2].

Рассмотрим идеальную катушку индуктивности с числом витков w, расположенную на замкнутом ферромагнитном магнитопроводе (сердечнике), по которой течет ток i (рис. 15). Идеальной будем считать катушку, у которой отсутствуют электрическое сопротивление обмотки (r = 0) и магнитные поля рассеяния (то есть все силовые линии магнитного потока Φ замыкаются по сердечнику, пронизывая все витки катушки). Поэтому потокосцепление идеальной катушки индуктивности можно представить в виде

ψ

(16)

= wΦ.

Приравняв правые части равенств (15) и (16), получим:

(17)

.

В соответствии с законом Ома для магнитной цепи [2] магнитный поток . Сделав соответствующую подстановку в правую часть равенства (17), получим

(18)

где R_магн – магнитное сопротивление ферромагнитного сердечника, зависящее от геометрических размеров сердечника и магнитной проницаемости материала, из которого он выполнен.

К ак следует из равенства (18), индуктивность L идеальной катушки зависит от квадрата числа витков и магнитного сопротивления сердечника.

Рассмотрим схему включения идеальной катушки индуктивности в цепь синусоидального тока (рис. 16). На электрических схемах индуктивность L изображается тремя или четырьмя полуокружностями. Согласно второму закону Кирхгофа для этой цепи можно записать:

u

(19)

+ e_L = ri,

где u = e – мгновенное значение синусоидального напряжения u на входе цепи,

е – мгновенное значение э.д.с. идеального источника (рис. 13), который

на рисунке 16 не показан;

i – мгновенное значение тока, создающего потокосцепление ψ = Li;

ri = 0 – равное нулю падение напряжения в катушке, поскольку она

идеальна (r= 0);

– мгновенное значение э.д.с. самоиндукции.

С учетом того, что ri = 0 равенство (19) принимает вид u + e_L = 0 , откуда

u

(20)

= – e_L,

то есть в каждый момент времени приложенное к цепи катушки напряжение должно быть уравновешено э.д.с. самоиндукции.

Предположим, что синусоида тока не содержит начальной фазы (ψ_I = 0)

(21)

Очевидно потокосцепление в соответствии с (15)

(22)

Согласно закону электромагнитной индукции [2] (в формулировке Максвелла) э.д.с. самоиндукции

(23)

где E_mL = ωLI_m – амплитуда э.д.с. самоиндукции;

sin(ωt – ^π/₂) = – cosωt.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа (20)

(24)

Сравнивая равенства (21) и (24), можно убедиться, что в цепи с индуктивным элементом напряжение опережает ток на четверть периода (^π/₂) или (то же самое): ток отстает от напряжения на четверть периода.

В правой части равенства (24) амплитуда напряжения U_m = ωLI_m, откуда

(25)

где x_L = ωL = 2πfL – индуктивное сопротивление, а сама зависимость (25)

представляет собой закон Ома для амплитудных значений

напряжения и тока.

Разделив обе части равенства (25) на , перейдем от амплитудных значений к действующим:

(26)

Равенство (26) представляет собой закон Ома для действующих значений.

Следует отметить, что правильнее считать индуктивное сопротивление x_L коэффициентом пропорциональности между э.д.с. самоиндукции и током: E_mL = x_LI_m, так как x_L = ωL не является параметром (в отличие от активного сопротивления ), поскольку зависит от частоты ω = 2πf. Параметром является только индуктивность . С учетом того, что размерность x_L должна быть в омах, принято называть x_L индуктивным сопротивлением. Действительно: размерность угловой частоты [ω] = [c^-1], а размерность индуктивности [L] = [Гн] = [Ом∙с], поэтому размерность [x_L] = [ω][L] = [c^-1] [Ом∙с⁺¹] = [Ом].

Мгновенная мощность «р» рассматриваемой цепи – это произведение мгновенных значений напряжения и тока:

(27)

Средняя за период (активная) мощность

(28)

поскольку определенный интеграл в правой части равенства (28) дважды за период обращается в ноль.

Рис. 17

На рисунке 17а показана векторная диаграмма амплитудных значений напряжения, тока и э.д.с. самоиндукции для момента времени t = 0 с разверткой (рис. 17б) в графики соответствующих синусоид, из которых видно, например, что положительная амплитуда синусоиды тока +I_m наступает позже на время ^Т/₄ по сравнению с положительной амплитудой синусоиды напряжения +U_m.

На этом же рисунке видно, что согласно второму закону Кирхгофа, синусоиды напряжения и э.д.с. е_L расположены в противофазе, то есть в каждый момент времени в сумме дают ноль. Здесь же можно объяснить знак «минус» в формулировке закона электромагнитной индукции по Максвеллу . В соответствии с принципом Ленца [2] направление индуктированной э.д.с. е_L должно быть таким, чтобы препятствовать изменению тока (потокосцепления), которое вызвало эту э.д.с. Действительно, как видно из рисунка 17б, в первую четверть периода ^Т/₄ при нарастании тока i э.д.с. е_L действует навстречу току, препятствуя его увеличению, а во вторую четверть периода, когда ток i начинает уменьшаться по величине, э.д.с. е_L действует с током i согласно, препятствуя его уменьшению. То есть индуктивность L является инерционным звеном по аналогии с массой тела в механическом движении при ускорении и торможении.

На рисунке 17в приведен в соответствии с выражением (27) график мгновенной мощности р, которая пульсирует с двойной частотой относительно нулевого среднего значения Р = 0. Это означает, что процесс преобразования энергии в цепи с индуктивностью имеет обратимый характер (в отличие от цепи с резистивным элементом).

Действительно, в первую четверть периода ^Т/₄ (рис. 17в) мгновенная мощность положительна, то есть электрическая энергия поступает из питающей сети и превращается в энергию магнитного поля W_м внутри катушки. Можно показать [1], что величина этой энергии, запасенной за четверть периода, равна

(29)

Во вторую четверть периода (рис. 17в) мгновенная мощность отрицательна, то есть катушка становится источником энергии, превращая энергию магнитного поля в энергию электрическую с отдачей в том же количестве обратно в питающую сеть.

Таким образом, в цепи с индуктивным элементом:

1. Ток отстает от напряжения на четверть периода (^π/₂).

2. Закон Ома справедлив только для амплитудных и действующих значений напряжения и тока, причем вводится понятие об индуктивном сопротивлении x_L = ωL = 2πfL.

3. Мгновенная мощность пульсирует с двойной частотой относительно нулевого значения P = 0. Это означает, что в цепи отсутствует необратимый процесс преобразования энергии, а имеет место обмен энергией между катушкой индуктивности и питающей сетью.