Нахождение безусловных экстремумов непрерывных дифференцируемых функций

Среди задач оптимизации выделяют задачи на безусловный экстремум. Общая постановка таких задач такова: найти значение , при котором достигается наибольшее или наименьшее значение непрерывно дифференцируемой функции: Z= f (X) =

Пусть дана дважды непрерывно дифференцируемая функция = =f(x₁, x₂, …, x_n). Необходимым условием экстремума функции является решение системы уравнений, состоящих из частных производных первого порядка:

Точки Х(x₁, x₂, …, x_n), координаты которых удовлетворяют системе (1), называются стационарными точками функции . То есть стационарными точками называются точки, в которых все первые частные производные равны нулю.

В стационарной точке может быть: а) локальный минимум; б) локальный максимум; в) точка типа «седловой точки»² или «точки перегиба».

Найдем матрицу, составленную из производных второго порядка. При краткой записи матрицы, составленной из производных второго порядка, - следует помнить, что индекс i изменяется по строкам, а индекс j – по столбцам.

Вычислим найденные вторые производные в стационарной точке Х и составим матрицу (матрицу Гессе³). Для того чтобы функция имела в стационарной точке локальный минимум (максимум), необходимо и достаточно, чтобы матрица Гессе в этой точке была положительно (отрицательно) определена.

Для определения положительной (отрицательной) определенности матрицы можно использовать критерий Сильвестра⁴:

• если все главные диагональные миноры этой матрицы положительны, то матрица положительно определена:

• если миноры нечетных степеней отрицательны, а миноры четных степеней положительны, то матрица отрицательно определена:

Если функция имеет несколько стационарных точек, то, определив тип этих точек (максимум или минимум) и подсчитав значение целевой функции Z = f в стационарных точках, можно выбрать среди них абсолютный минимум или максимум. В сложных случаях необходимо привлекать дополнительные сведения о функции. В данном пособии такие случаи не рассматриваются.

Пример 8. Фирма производит два вида товара. Обозначим через х₁- количество товара первого вида, х₂ – количество товара второго вида. Цена единицы товара первого вида равняется 8 ден. ед. (р₁ = 8), а второго вида – 10 ден. ед. (р₂ = 10). Функция затрат на производство и реализацию имеет вид:

Найти объемы производства товаров, при которых прибыль от реализации была бы максимальной.

Решение. Составим функцию прибыли, исходя из имеющихся данных:

Z(X) = max, то есть прибыль определяется как разница между выручкой от реализации продукции (8х₁+10х₂) и затратами на ее производство и реализацию ( ).

Максимум прибыли будем искать как условие локального экстремума функции

Составим систему уравнений для определения стационарных точек:

Решением этой системы является точка Х(2,4), т.е. х₁ = 2; х₂ = 4.

Найдем матрицу .

, т.е.

Вторые производные не зависят от переменных.

У матрицы минор первой степени (нечетной степени) отрицательный, а второй (четной) положительный.

Согласно критерию Сильвестра, матрица является отрицательно определенной. Следовательно, в точке Х(2,4) достигается максимум. Значение целевой функции в точке равно:

Z(X)=

Таким образом, при заданных ценах и затратах на производство и реализацию продукции необходимо производить 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида, чтобы получить максимум прибыли 28 ден. ед.

Пример 9. Требуется найти экстремум функции:

Z(X) =

Решение.

Составим систему уравнений для определения стационарных точек:

Решив эту систему, определяем координаты единственной стационарной точки Х(3,5; -5,5).

Далее надо найти матрицу и подставить вместо х₁ и х₂ координаты стационарной точки (3,5; -5,5). В рассматриваемом примере вторые производные не зависят от переменных (координат):

Все главные диагональные миноры матрицы положительны. Согласно критерию Сильвестра, матрица является положительно определенной. Следовательно, в точке Х(3,5; -5,5) достигается минимум. Значение целевой функции в точке равно:

Z(X) =