Контрольные вопросы

1. Как можно сформулировать постановку задачи на безусловный экстремум?

2. Что является необходимым условием экстремума непрерывной дифференцируемой функции?

3. Какие точки называются стационарными?

4. Чем может быть стационарная точка?

5. Какие условия необходимы и достаточны для того, чтобы функция имела в стационарной точке локальный минимум (максимум)?

6. Какой признак положительной определенности матрицы Гессе?

7. Какой признак отрицательной определенности матрицы Гессе?

8. Для чего можно использовать критерий Сильвестра?

9. Каким образом можно выбрать абсолютный экстремум?

Индивидуальные задания 1

Найти экстремумы функции.

Нахождение условных экстремумов. Метод множителей Лагранжа5

Экстремум называется условным, если при поиске экстремальных значений функции учитываются ограничения на переменные.

Рассмотрим задачу нахождения экстремумов функции, когда на переменные наложены ограничения - равенства.

Постановка задачи следующая:

требуется найти max (min) Z (Х) = при ограничениях

где - дважды непрерывно дифференцируемые функции. При этом m ≤ n, где n – число переменных, m – число независимых ограничений-равенств.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума является сведение задачи к поиску безусловного экстремума.

а) Выражение переменных и подстановка их в целевую функцию

Для этого выражают m компонент (переменных) вектора Х через остальные (n-m) и подставляют в целевую функцию. Таким образом, получают задачу на безусловный экстремум целевой функции.

Пример 10. Найти экстремум функции Z(X) = при условии:

Решение. Из ограничения (уравнения условия или уравнения связи) выразим х₂ через х₁ и подставим полученное выражение в функцию Z(X) = f.

х₂ = х₁ + 1

Геометрически данная функция представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, т.к. а = -1,25< 0. Вершина параболы, в которой достигается максимум функции, находится в точке с координатами . Найдем координаты искомой точки: .

Тогда х₂ = 1,6 + 1; х₂ = 2,6

Таким образом, точкой условного экстремума (максимума) функции Z(X) = при условии является точка Х^* = и Z(X^*) = .

Описанный выше подход применим не ко всем задачам, так как не всегда легко выразить переменные из уравнений связи и исследовать полученную функцию. Более универсальным методом решения задач на нахождение условного экстремума является метод множителей Лагранжа.

Б) Алгоритм метода множителей Лагранжа

Пусть задана задача нелинейного программирования:

найти max (min) Z (Х) = при ограничениях

где - дважды непрерывно дифференцируемые функции. При этом m ≤ n, где n – число переменных, m – число независимых ограничений - равенств.

1. Составить функцию Лагранжа:

, где - множители Лагранжа. То есть функция Лагранжа равна сумме, причем в качестве первого слагаемого переписывается целевая функция без изменений, а каждое ограничение (правая часть ограничений равна нулю) умножается на множитель Лагранжа _i (i=1m), и полученные выражения приписываются к целевой функции в виде слагаемых. Функция Лагранжа имеет n+m переменных: х₁, х₂, …, х_n, _1, _2, … , _m .

2. Найти частные производные функции Лагранжа и приравнять их к нулю:

3. Решить получившуюся систему из n+m уравнений, являющимися частными производными функции Лагранжа, и найти стационарные точки.

Искомый максимум (или минимум) выбирается среди стационарных точек сравнением значений целевой функции в них или при помощи неформальных дополнительных соображений.

Пример 11. Найти

Решение.

1. Преобразуем ограничение, перенеся все его члены в левую часть х²+4хy-12=0.

2. Составляем функцию Лагранжа:

3. Находим частные производные функции Лагранжа, приравниваем их к нулю и составляем систему уравнений:

4. Решаем получившуюся систему из трех уравнений.

Находим  из уравнения . . Подставляя найденное значение  в первое уравнение системы, получаем или . Приписывая оставшееся уравнение, получаем следующую систему: . Вычитая из первого уравнения второе, получаем, что хy=2 или . Сделав подстановку найденного значения х в уравнение Умножим обе части уравнения на у и поделим на 4: .

Ранее нашли, что и . Отсюда

Так как хy=2, то х_1,2 = , а .

Таким образом, найдены стационарные точки:

Вычисляем значение Z для стационарных точек: Следовательно, функция достигает максимума в точке

Пример 12. Фирма производит продукцию по двум технологиям: х₁ –количество продукции по первой технологии (т), х₂ – по второй (т). По первой технологии затраты на производство составляют ден.ед., а по второй - ден.ед. Определить, сколько тонн продукции следует производить каждым способом, чтобы затраты на производство были минимальными, если в сутки общий объем произведенной продукции должен составлять 3000 т.

Запишем условия задачи математически.

Составим целевую функцию (минимум затрат на производство):

min Z = и ограничение: х₁ + х₂ = 3000,

условия неотрицательности переменных: х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0

Решение.

1. Преобразуем ограничение, перенеся все его члены в левую часть х₁+х₂ - 3000=0.

2. Составляем функцию Лагранжа:

L= х₁²+ х₂²+  ( х₁+х₂ – 3000).

3. Находим частные производные функции Лагранжа, приравниваем их к нулю и составляем систему уравнений:

2х₁+ = 0;  = - 2х₁;

2х₂+ = 0;  = - 2х₂;

х₁ = х₁; 2х₁ = 3000; х₁ = х₂ = 1500,  = - 2  1500 = -3000;

Таким образом, найдена стационарная точка (1500; 1500; -3000). Вычисляем значение Z для стационарной точки: Z = 4500000.

Дадим другие значения х₁ и х₂, близкие к точке (1500; 1500), учитывая, что х₁ + х₂ = 3000. Например, пусть х₁ = 1510, х₂ = 1490 и вычислим значение Z в этой точке: Z = 4500200. Пусть х₁ = 1495, х₂ = 1505 и вычислим значение Z в этой точке: Z = 4500050. Мы видим, что значения Z в этих произвольно выбранных точках превышают значение Z в найденной стационарной точке (1500, 1500). Следовательно, функция достигает минимума в точке Х(1500; 1500; -3000).

Таким образом, для получения минимальных затрат, равных 4500000 ден. ед., необходимо производить продукцию и по первой технологии и по второй по 1500 т.