5.9. Лабораторная работа № 9 Программирование с использованием операций над комплексными числами.
Цель работы: приобрести практические навыки программирования с использованием операций над комплексными числами и библиотеки стандартных функций обработки комплексных чисел.
5.9.1. Задание
Вычислить корни
и
квадратного уравнения
для заданных
значений коэффициентов
,
и
,
и определить значение выражения,
приведенного в табл.5.8. Правильность
вычисления корней уравнения проверить
по теореме Виетта.
На экран вывести значения корней уравнения и результат вычисления выражения в следующей форме:
ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
a = … b = … c = …
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Корни квадратного уравнения
x1 = 0.5 + 3i x2 = 0.5 – 3i
Значение выражения
W = …
Модуль W = … Аргумент W = …
Проверка вычисления корней
b = … c = …
5.9.2. Общие сведения и рекомендации по выполнению работы
К
омплексное
число – это число вида
,
изображаемое на числовой плоскости
отрезком прямой, соединяющей начало
координат с точкой с координатами
(рис.5.1). При этом
называют вещественной (действительной)
частью и считают ось
осью абсцисс и обозначают символом +.
– мнимая часть комплексного числа,
ось
считают осью ординат и обозначают
символом
или
.
Множитель
(применяют также символ
)
называют мнимой единицей.
Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел с мнимой частью, равной нулю, например, в общем случае,
.
Действительные числа, как известно, изображаются на числовой оси отрезком, проведенным из начала координат в сторону положительной или отрицательной бесконечности, и имеющим длину, равную (рис.5.1).
Наряду с действительными (чисто
вещественными) числами, различают и
чисто мнимые числа как другой частный
случай комплексного числа с вещественной
частью, равной нулю, например,
(рис.5.1).
Знак, записываемый между действительной и мнимой частями комплексного числа, не является знаком операции вычитания, а является знаком мнимой части, записанной рядом с вещественной частью комплексного числа. Примером комплексных чисел могут быть:
,
,
,
.
Последние
два числа представляют собой соответственно
чисто действительное и чисто мнимое
число и могут быть записаны, как
и
.
Рассмотренная форма записи комплексного
числа называется алгебраической.
В математике и в теоретической
электротехнике также широко используется
показательная форма записи
комплексного числа в виде
(рис.5.1). Здесь
называют модулем комплексного числа
(может применяться также термин
амплитуда), а угол
называют аргументом или фазой
комплексного числа.
Как правило, в алгебраической форме удобно производить сложение и вычитание комплексных чисел, а в показательной форме – умножение и деление.
При отрицательном дискриминанте корни квадратного уравнения будут комплексными числами, причем комплексно-сопряженными (различаются только знаком мнимой части). Корень из отрицательного числа можно определить, как чисто мнимое число, например:
.
В языке С++ предусмотрена библиотека стандартных функций обработки комплексных чисел, которая содержится в заголовочном файле complex.h (приложение 2). Для ее использования следует предусмотреть соответствующую директиву препроцессору (подключение класса complex).
При написании программы комплексную переменную, как и любую другую, следует описать. Тип комплексных данных имеет название complex, а описание, например, комплексной переменной будет иметь вид:
complex h;
Присваивание комплексной переменной определенного значения производится следующим образом:
h = (–1, 3);
Здесь
комплексной переменной
присвоено значение
.
Вещественная часть числа
,
мнимая часть
,
модуль числа
,
аргумент числа
.
Над комплексными переменными возможны те же арифметические операции, что и над действительными числами. Например, в результате выполнения фрагмента программы:
…
complex h1 = (2, –3.5), h2 = (–1, 5);
complex h = h1 + h2;
cout << h;
…
переменная
получит значение
,
а на экране появится сообщение
( 1, 1.5)
С учетом специфики вывода комплексных чисел необходимо составить собственную функцию вывода на экран значения комплексного числа в алгебраической форме.
Основные функции библиотеки обработки комплексных чисел приведены в приложении 2.
При написании программы рекомендуется
комплексные числа, например,
,
и др., описать константами и при вычислении
выражения использовать их идентификаторы.