4.5. Потенціальна енергія тіла у полі сил тяжіння Землі.
На великих відстанях від поверхні Землі потенціальна енергія тіла масою у полі тяжіння Землі (4.18) становить
, (4.19)
де
–
маса і радіус Землі,
–
висота підйому над поверхнею Землі
(висока точність розрахунку забезпечується
для
).
На малих висотах
сила земного тяжіння наближено вважається
сталою:
,
а тому на висоті
матеріальна точка має потенціальну
енергію
(4.20)
Сталу
інтегрування
визначають під час вибору нульового
рівня висоти
.
Якщо
,
то
=0.
За нульовий рівень можна вибрати
довільний рівень (рівень підлоги, стола
та ін.), тоді:
(4.20)
4.6. Потенціальна енергія розтягненої (стисненої) пружини
За невеликих
розтягів пружини виконується закон
Гука, тоді величина пружної сили
пропорційна до розтягу (чи стиску)
:
.
Під час повернення пружини в недеформований
стан пружна сила виконує роботу:
, (4.21)
Отже, потенціальна енергія деформованої пружини дорівнює:
.
4.7. Зв’язок між силою, що діє на тіло, і його потенціальною енергією
Раніше відзначалось,
що в кожній точці силового поля на тіло
діє деяка сила
і, крім того, встановлено, що в кожній
точці консервативного поля тіло має
певну потенціальну енергію
.
Встановимо взаємний зв’язок між цими
величинами.
Якщо тіло рухається
в полі консервативних сил, то сили поля
виконують над тілом роботу
.
Дана робота виконується внаслідок
зменшення потенціальної енергії тіла
.
Тому:
(4.22)
З
виразу (4.22) випливає наступне: якщо
зафіксувати дві складові координат,
наприклад, вважаємо, що
та
,
то
.
Для підтвердження даного припущення
(
,
)
замінимо значок
на
і назвемо похідну
частинною похідною. В цьому випадку
матиме сенс зміни
на одиниці відстані в напрямку
.
Подібне можна отримати, зафіксувавши
попарно і інші координати. Тоді, у
загальному випадку, вираз для сили
запишемо
у виглялі
(4.23)
Векторну операцію, проведену зі скалярною величиною називають оператором градієнта:
(4.24)
Зазначимо,
що напрям дії сили завжди співпадає з
напрямом найшвидшого зменшення
потенціальної енергії. Зокрема, для
напряму дії сили земного тяжіння біля
поверхні Землі отримаємо:
.
(Вважаємо, що напрям
співпадає з віссю
).
5. Закони збереження в механіці
Тіла, які створюють механічну систему тіл, можуть взаємодіяти між собою та з тілами, що не входять у дану систему. Таким чином, сили, що діють на тіла даної системи, можна розділити на внутрішні та зовнішні. У тому випадку, коли взаємодія з тілами, що не входять у систему, відсутня (зовнішні сили дорівнюють нулю), систему називають замкненою. Для замкнених систем існують такі функції координат і швидкостей окремих тіл, які з перебігом часу не змінюються. Ці функції називаються інтегралами руху. Інтегралів руху, які є адитивними функціями величин, що характеризують кожну із складових системи, є три. Відомі нам величини: імпульс, момент імпульсу та енергія є першими інтегралами відповідних рівнянь руху. Таким чином, для замкнутих механічних систем зберігаються імпульс, момент імпульсу та повна механічна енергія. Відповідно, існують три закони збереження в механіці.