8.2. Рівняння хвилі

Знайдемо рівняння, яке б повністю описувало коливний рух в межах хвилі, подібно як рівняння описує гармонійне коливання матеріальної точки. Шукаємо рівняння деякої функції , яка має певні властивості. Зокрема, у процесі фіксації координати точки спостереження дана функція повинна перетворитися в рівняння коливань в даній точці:

,

де – початкова фаза коливань, залежна від координати.

З іншого боку, якщо в зафіксувати час , то дана функція повинна дати миттєву картину коливного процесу в усій ділянці простору, в якій існує хвиля.

Вірогідно, що повинна бути періодичною функцією і координати, оскільки однакова фаза коливань хвилі повторюється через відстані, що дорівнюють довжині хвилі .

Знайдемо рівняння плоскої хвилі, тобто хвилі, в якій фронт хвилі й усі хвильові поверхні є площинами, перпендикулярними до вектора швидкості .

Джерелом плоскої хвилі може бути достатньо протяжна площина. Нехай джерело плоскої хвилі лежить в площині і періодично зміщує частинки середовища вздовж Оx з частотою . Це означає, що в площині збуджуються гармонійні коливання

(8.1)

Унаслідок пружного зв’язку між частинками середовища в середовищі в напрямі ox будуть поширюватись коливання з швидкістю . До площини з координатою коливання надійдуть із запізненням .

Тому рівняння коливань в точці буде мати вигляд:

(8.2)

Рівняння (8.2) називають рівнянням плоскої хвилі, що поширюється в напрямі осі x.

Оскільки , рівняння (8.2) можна звести до вигляду :

(8.3)

де – хвильове число.

Для плоскої хвилі, що поширюється з початку координат з плоского джерела, довільно орієнтованого в просторі, рівняння хвилі матиме вигляд:

, (8.4)

де – координата точки спостереження коливань, – хвильовий вектор, – одиничний вектор нормалі до поверхні джерела коливань. У розгорнутому вигляді вираз (8.4) можна записати так:

(8.5)

Рівняння сферичної хвилі, що поширюється з точкового джерела, яке міститься у початку координат ( ), має вигляд:

(8.6)

де А – величина, чисельно рівна амплітуді коливань на відстані від джерела коливань.

8.3. Хвильове рівняння

Рівняння коливань є розв’язком рівняння руху, зведеного до вигляду (7.7):

Знайдемо диференціальне рівняння, розв’язком якого є рівняння хвилі. Для цього знайдемо другі часткові похідні по змінних від виразу (8.5):

(8.7)

(8.8)

(8.9)

(8.10)

Після додавання рівнянь (8.8), (8.9) і (8.10) отримаємо:

(8.11)

Якщо з виразу (8.7) знайти f і підставити у (8.11), то отримаємо:

, (8.12)

оскільки .

Рівняння (8.12) називають хвильовим рівнянням. Розв’язком цього рівняння є рівняння хвилі.

8.4. Швидкість поширення пружних хвиль в середовищі

Швидкість поширення механічних хвиль зумовлена швидкістю передавання коливального руху від частинки до частинки середовища. Знайдемо швидкість поширення поздовжньої пружної хвилі в довільному пружному суцільному середовищі. В загальному випадку незалежно від агрегатного стану пружного середовища (тверде тіло, рідина чи газ) для швидкості поширення поздовжньої хвилі можна отримати:

(8.13)

де – густина недеформованого середовища, – коефіцієнт пружності.

У випадку поширення поздовжньої хвилі в твердому тілі коефіцієнт пружності виразимо через модуль Юнга: і для v отримаємо:

(8.14)

В рідинах і газах швидкість поширення поздовжніх хвиль визначається з допомогою виразу:

(8.15)

де k – модуль об’ємного стиску, – адіабатичний⁵ коефіцієнт об’ємного стиску. (Для води зменшується з підвищенням температури, а відповідно v збільшується).

Швидкість поширення поздовжніх хвиль в газах визначають за формулою:

(8.16)

де R – універсальна газова стала, – відношення молярних теплоємностей газу відповідно за сталого тиску С_р і сталого об’єму С_v. ( , де і – число ступенів вільності молекули газу); μ – молярна маса газу. З (8.16) бачимо, що і обернене до .

Наприклад, швидкості поширення звуку (поздовжньої хвилі) у водні та кисні відносяться між собою як:

бо ,

Щвидкість поширення поперечної хвилі у твердому тілі можна розрахувати за допомогою виразу, подібного до (8.14):

, (8.17)

де - модуль зсуву.

Оскільки величина G менша від модуля Юнга, вірогідно, що .