Глава 8.

ІНДЕКСНИЙ МЕТОД

8.1. Основні теоретичні положення

1. Зміст (завдання) індексного методу. Полягає в кількісній оцінці зміни ознаки у часі та просторі, структурних зрушень, впливу різних факторів на ці зміни, що уможливлюється за допомогою статистичних показників – індексів.

2. Проста статистична сукупність – статистична сукупність, окремі елементи якої підлягають звичайному додаванню.

3. Складна статистична сукупність – статистична сукупність, окремі елементи якої не підлягають звичайному додаванню.

4. Статистичний індекс – відносна величина порівняння простих і складних статистичних сукупностей, а також окремих їх одиниць. Містить в собі значення індексованої величини і сумірника (для загальних індексів).

Види індексів:

а) за ступенем агрегування явища:

- індивідуальні;

- загальні;

б) за формою агрегату:

- агрегатні;

- середні;

в) за ваговою структурою:

- з постійними вагами;

- зі змінними вагами;

г) за базою порівняння:

- базисні;

- ланцюгові;

ґ) за характером впливу факторів:

- змінного складу;

- постійного складу;

- структурних зрушень;

д) територіальні.

5. Індексована величина (Х) – величина Х, яка підлягає порівнянню за допомогою індексів.

Правило порівняння у часі: в чисельнику індексу індексована величина (Х₁) завжди відповідає поточному періоду (що аналізується – 1), а у знаменнику (Х₀) – базисному періоду (з яким порівнюється – 0).

Поширеними індексованими величинами є ціна (р), фізичний об’єм (q), собівартість (z), продуктивність праці (t).

6. Сумірник (F) – множник F, на який множиться індексована величина для приведення її до порівнюваного виду.

Правило множення: в чисельнику і знаменнику він завжди однаковий, і, наприклад, при аналізі часових змін Х відповідає або поточному (форма Пааше), або базисному (форма Ласпейреса) періоду.

Для індексованих величин p, z, t сумірником є фізичний об’єм q, а для індексованої величини q – ціна p.

7. Індивідуальні індекси (і_Х) – характеризують зміну окремих одиниць статистичної сукупності, що, наприклад, при порівнянні у часі, відбувається у поточному періоді в порівнянні з базисним періодом:

i_Х = Х₁/Х₀. (8.1)

Поширені індивідуальні індекси:

i_p = p₁/p₀ – ціни; i_q = q₁/q₀ – фізичного об’єму;

i_z = z₁/z₀ – собівартості; i_t = t₁/t₀ – продуктивності праці.

8. Загальні індекси (І_Х) – характеризують загальні результати спільної зміни всіх одиниць статистичної сукупності, що уможливлюється завдяки утворенню у чисельнику і знаменнику індексу зведених агрегатів, які представляють певну категорію поточного або базисного періоду в чисельнику Σ(Х₁F₁₍₀₎) та знаменнику Σ(X₀F₁₍₀₎) загального індексу у значеннях індексованої величини відповідно поточного та базисного періодів (при аналізі часових змін Х). Добуток XF має назву «агрегат». Безпосереднє застосування таких зведень у загальному індексі дає агрегатну його форму, наприклад, у часових змінах Х: Пааше – для порівняння у поточному періоді (сумірник F₁), Ласпейреса – для порівняння в базисному періоді (сумірник F₀). Специфічною формою агрегатного індексу є форма Лоу, відповідно до якої порівняння виконується у середньому за два періоди, і сумірником є середнє арифметичне

. (8.2)

9. Агрегатні індекси у формі Пааше (на прикладі індексації ціни і фізичного об’єму) – це форма загального індексу, яка відображає відносну зміну зведеного агрегату у поточному періоді за рахунок зміни індексованої величини:

(8.3)

де Х₁ = {х_1j} і Х₀ = {х_0j} (j = 1, 2, …, n) – значення індексованої величини відповідно поточного і базисного періодів; F₁ = {f_1j} (j = 1, 2, …, n) – значення сумірника в поточному періоді.

Агрегатні індекси ціни і фізичного об’єму записуються відповідно так:

(8.4)

де Σ(p₁q₁) – товарооборот поточного періоду по цінах того ж самого періоду;

Σ(p₀q₁) – товарооборот поточного періоду по цінах базисного періоду.

Σ(q₀p₁) – товарооборот базисного періоду по цінах поточного періоду.

Індекс ціни характеризує відносну зміну товарообороту у поточному періоді за рахунок зміни ціни, а індекс фізичного об’єму – у поточному періоді в порівнянні з базисним по цінах поточного періоду (у порівняних поточних цінах).

Віднімаючи з чисельника загального індексу Пааше його знаменник, можна визначити абсолютний приріст товарообороту, що відбувається за рахунок зміни ціни Δpq(p) та фізичного об’єму Δqp(q) відповідно.

10. Агрегатні індекси у формі Ласпейреса (на прикладі індексації ціни і фізичного об’єму) – це форма загального індексу, яка відображає відносну зміну зведеного агрегату у базисному періоді за рахунок зміни індексованої величини:

(8.5)

Агрегатні індекси ціни і фізичного об’єму записуються відповідно так:

(8.6)

де Σ(p₀q₀) – товарооборот базисного періоду по цінах того ж самого періоду.

Індекс ціни характеризує відносну зміну товарообороту у базисному періоді за рахунок зміни ціни, а індекс фізичного об’єму – у поточному періоді в порівнянні з базисним по цінах базисного періоду (у порівняних базисних цінах).

Віднімаючи з чисельника загального індексу Ласпейреса його знаменник, можна визначити абсолютний приріст товарообороту, що відбувається за рахунок зміни ціни Δpq(p) та фізичного об’єму Δqp(q) відповідно.

11. Агрегатні індекси у формі Лоу (на прикладі індексації ціни і фізичного об’єму) – це форма загального індексу, яка відображає відносну зміну зведеного агрегату у середніх значеннях сумірника за рахунок зміни індексованої величини:

(8.7)

Агрегатні індекси ціни і фізичного об’єму записуються відповідно так:

(8.8)

де – середня кількість товарів, реалізованих протягом поточного і базисного періодів; – середня ціна товарів, реалізованих протягом поточного і базисного періодів; – середній товарооборот поточного та базисного періодів по цінах поточного періоду; – середній товарооборот поточного та базисного періодів по цінах базисного періоду; – товарооборот поточного періоду у середніх цінах поточного та базисного періодів; – товарооборот базисного періоду у середніх цінах поточного та базисного періодів.

Індекс ціни характеризує відносну зміну середнього товарообороту поточного та базисного періодів за рахунок зміни ціни, а індекс фізичного об’єму – відносну зміну товарообороту поточного періоду в порівнянні з товарооборотом базисного періоду у середніх цінах поточного та базисного періодів (у порівняних середніх цінах).

Віднімаючи з чисельника загального індексу Лоу його знаменник, можна визначити абсолютний приріст товарообороту, що відбувається за рахунок зміни ціни та фізичного об’єму відповідно.

Перевага індексу Лоу над індексами Пааше і Ласпейреса полягає в тому, що він враховує сукупний вплив обох факторів, індексованої величини та сумірника, на зміну досліджуваної категорії. Аналогічну перевагу має і такий загальний індекс:

(8.9)

який за умов Х = р і F = q має зміст загального індексу товарообороту. Останній індекс можна отримати множенням індексу ціни у формі Пааше на індекс фізичного об’єму у формі Ласпейреса, або множенням індексу ціни у формі Ласпейреса на індекс фізичного об’єму у формі Пааше.

12. Середня форма загального індексу – це форма загального індексу, яка застосовується за наявності даних про агрегати поточного (X₁F₁) або базисного періодів (X₀F₀) та індивідуальні зміни індексованої величини (i_X) й існує в гармонічній і арифметичній формах:

(8.10)

і , – (8.11)

де заміна X₁/i_X на X₀ і i_XX₀ на X₁ дає агрегатну форму Пааше і Ласпейреса відповідно.

13. Індекси з постійними вагами – загальні індекси, які застосовуються для індексації за три звітні періоди і більше і характеризують відносні зміни досліджуваної категорії у певному періоді за рахунок зміни індексованої величини, тобто сумірник є одним і тим самим у чисельнику та знаменнику кожного загального індексу і відповідає, зазвичай, початковому (першому) періоду. Наприклад:

(8.12)

Перший і третій індекси є базисними, а перший і другий – ланцюговими.

14. Індекси зі змінними вагами (на прикладі трьох періодів) – загальні індекси, які застосовуються для індексації за три періоди і більше і характеризують відносні зміни досліджуваної категорії у декількох послідовних звітних періодах за рахунок зміни індексованої величини, тобто сумірник загального індексу кожного наступного порівнюваного періоду відповідає саме цьому періоду. Наприклад:

(8.13)

Перший і третій індекси є базисними, а перший і другий – ланцюговими.

15. Індекси змінного складу ( ) – характеризують зміну середнього значення індексованої величини в поточному періоді в порівнянні з базисним у відповідних значеннях індексованої величини (зміну в цілому, тобто під впливом обох факторів X і F):

(8.14)

де і – середні арифметичні значення індексованої величини відповідно поточного та базисного періодів.

16. Індекси постійно складу ( ) – характеризують зміну середнього значення індексованої величини в поточному періоді (зміну у середньому, тобто лише за рахунок зміни індексованої величини Х, індекс Пааше):

(8.15)

де і – середні арифметичні значення індексованої величини поточного періоду у значеннях індексованої величини відповідно поточного X₁ і базисного X₀ періодів.

17. Індекси структурних зрушень ( ) – характеризують зміну середнього значення індексованої величини у поточному періоді в порівнянні з базисним у порівняних значеннях індексованої величини базисного періоду X₀ (структурних зрушень, тобто лише за рахунок зміни сумірника F):

(8.16)

18. Взаємозв’язок індексів. Індекс змінного складу дорівнює добутку індексу постійного складу й індексу структурних зрушень:

. (8.17)

19. Територіальні індекси (на прикладі регіонів S₁ і S₂) – характеризують відносні зміни індексованої величини в індивідуальних її значеннях (індивідуальні індекси) або в цілому (у середньому; загальні індекси) у складній сукупності у звітному періоді, як правило, по двох порівняних територіях. Причому, один і той самий регіон може бути порівняним і може бути базою порівняння.

Правила порівняння: так само, як і в часових порівняннях, сумірник чисельника і знаменника загального територіального індексу має бути одним і тим самим, відповідаючи порівняному регіону (в прикладах S₁ і S₂ відповідно):

(8.18)

Якщо порівняння виконується з урахуванням значень сумірника обох регіонів разом, то застосовується комбінований сумірник, яким є або сума цих значень, або їх середнє арифметичне, в залежності від характеру задачі. Наприклад: якщо сумірником є однорідний фізичний об’єм, то комбінований сумірник у загальному індексі можна представити сумою однойменних фізичних об’ємів обох регіонів, тобто

(8.19)

якщо сумірником є ціна однотоварної маси, то комбінований сумірник можна представити зваженим середнім арифметичним цін однойменних товарів (послуг) обох регіонів, тобто

(8.20)

Контрольні питання:

1. Індексний метод: зміст; поняття простої та складної статистичних сукупностей, статистичного індексу, індексованої величини та сумірника.

2. Статистичний індекс і його види.

3. Індивідуальні індекси: зміст, основні умови та правила їх розрахунку.

4. Загальні індекси: зміст, види, основні умови та правила їх розрахунку.

5. Агрегатна та середня форма загального індексу Пааше (пояснення дії на прикладах індексів ціни та фізичного об’єму).

6. Агрегатна та середня форма загального індексу Ласпейреса (пояснення дії на прикладах індексів ціни та фізичного об’єму).

7. Агрегатна форма загального індексу Лоу (пояснення дії на прикладах індексів ціни та фізичного об’єму).

8. Індекси з постійними та змінними вагами: зміст, правила побудови, базисні та ланцюгові індекси й їх взаємозв’язок.

9. Індекси постійного, змінного складу та структурних зрушень: зміст, правила побудови, їх взаємозв’язок.

10. Територіальні індекси: зміст, правила побудови (пояснення дії на прикладах індексів ціни та фізичного об’єму).