Расстояние от точки до плоскости

Пусть в пространстве задана плоскость и точка Найдем расстояние от точки до плоскости Очевидно, что какова бы ни была точка плоскости (рис. 14.6), справедливо соотношение: где

Рис. 14.6

Поскольку то

Тогда:

Таким образом, имеем:

(14.10)

Замечание. Если нормальный вектор плоскости отложен от некоторой точки прямой, то для всех точек , которые лежат в одной полуплоскости с концом вектора , а для всех точек, лежащий в другой полуплоскости, Таким образом, для точек, лежащих в одной из полуплоскостей, на которые разбивает координатную плоскость прямая, а для точек другой полуплоскости

N. Две грани куба лежат в плоскостях и Найти объем куба.

Решение.

Т.к. то Значит, в условии речь идет о противоположных гранях куба. Ребро куба равно расстоянию между этими плоскостями. Для его нахождения выберем произвольную точку плоскости и вычислим расстояние от нее до плоскости

Пусть точка Значит, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости

Найдем расстояние от точки до плоскости по формуле (14.10).

Таким образом, и

Ответ.

Пучок плоскостей

Def. Пучком плоскостей называют множество всех плоскостей, которые проходят через одну прямую , которую называют осью пучка.

Th. 14.2

Если заданы две плоскости и то уравнение пучка имеет вид: (14.11) Причем это уравнение содержит уравнения всех плоскостей пучка, кроме

Доказательство.

1)Докажем, что уравнение (14.11) задает плоскость пучка. Для любого уравнение (14.11) является уравнением первой степени, а значит, задает плоскость.

Если – произвольная точка оси пучка, то и Значит, координаты удовлетворяют уравнению (14.11). Таким образом, плоскость, задаваемая уравнением (14.11), принадлежит пучку.

2) Докажем, что в уравнении (14.11) всегда можно подобрать значение параметра так, чтобы плоскость, определяемая этим уравнением, проходила через заданную точку т.е выполнялось соотношение:

Если то и значение однозначно определяется по формуле: Если же, но то . Таким образом, уравнение (14.11) не содержит уравнения плоскости .

N. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей и и точку

Решение.

Искомая плоскость – плоскость пучка, задаваемого уравнением

Отсюда

Поскольку точка принадлежит этой плоскости, то

Откуда Подставляя значение в уравнение пучка, получаем уравнение искомой плоскости:

Ответ.

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Уравнение прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве однозначно определяется точкой и вектором который называется направляющим вектором прямой Пусть радиус-вектор точки , а радиус-вектор текущей точки

Рис. 15.1

прямой (рис. 15.1). тогда и только тогда, когда , т.е. или:

(15.1)

Уравнение (15.1) называется векторным уравнением прямой в пространстве. В координатной форме уравнение (15.1) записывается в виде:

(15.2)

Уравнения (15.2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Условие можно записать в координатной форме:

(15.3)

Уравнения (15.3) называют еще каноническими уравнениями прямой.

Замечание. Если то уравнения (15.3) надо понимать в смысле (15.2)

Прямая также однозначно определяется двумя точками и (рис. 15.2). В этом случае в качестве направляющего вектора можно взять вектор

Рис. 15.2

Тогда уравнения (15.2) принимают вид:

(15.4)

Уравнения (15.4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения плоскостей. Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и Тогда их прямая пересечения может быть задана следующим образом:

(15.5)

Очевидно, для того, чтобы система (15.5) задавала прямую необходимо и достаточно, чтобы и не были коллинеарны. В этом случае направляющий вектор прямой определяется по формуле:

(15.6)

N. Составить канонические уравнения прямой

Решение.

Найдем какую-нибудь точку на данной прямой. Для этого положив получим систему:

Отсюда Таким образом, точка - точка прямой.

Найдем направляющий вектор прямой по формуле (15.6).

Тогда:

Составим канонические уравнения прямой, воспользовавшись формулой (15.3).

Ответ.

Замечание. Для составления канонических уравнений прямой можно поступить иначе. Можно отыскать две какие-нибудь точки данной прямой и воспользоваться уравнениями прямой, проходящей через две точки (15.4).