Основные задачи на прямую в пространстве
1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями.
и
Угол
между двумя прямыми однозначно
определяется углом между их направляющими
векторами
и
.
Пусть
угол
между этими векторами. Тогда:
(15.7)
Формула (15.7) позволяет определить один из углов (острый или тупой) между прямыми.
Замечание. Если необходимо найти острый угол между прямыми, то его косинус находят по формуле:
(15.8)
2. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:
|
Рис. 15.3 |
(рис.
15.3).
напрвляющие
векторы прямых
и
соответственно.
Прямые
и
лежат в одной плоскости тогда и только
тогда, когда векторы
и
компланарны, т.е.
(15.9)
N.
Доказать, что прямые
и
скрещиваются.
Решение.
Воспользуемся условием (15.9) принадлежности
прямых одной плоскости.
данные
прямые не принадлежат одной плоскости,
а значит, скрещиваются. Что и требовалось
доказать.
3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Пусть
задана прямая
|
Рис. 15.4 |
и точка
Найдем расстояние
от точки
до прямой
Отложим
направляющий вектор
прямой от точки
Очевидно,
что искомое расстояние равно высоте
параллелограмма, построенногона векторах
и
(рис. 15.4). Значит,
(15.10)
4. Расстояние между параллельными прямыми.
Пусть
заданы параллельные прямые
Вектор
–
направляющий вектор данных параллельных
прямых,
|
Рис. 15.5 |
и
Найдем расстояние между этими прямыми.
Искомое расстояние равно высоте
параллелограмма,
построенного на векторах
и
(рис. 15.5). Значит,
(15.11)
5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Пусть заданы две скрещивающиеся прямые:
и
Найдем расстояние между этими прямыми.
|
Рис. 15.6 |
Искомое
расстояние равно высоте
параллелепипеда построенного на
векторах
и
(рис. 15.6). Значит,
,
Отсюда
имеем:
(15.12)
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться или быть параллельными. В первом случае они имеют одну общую точку, а во втором не имеют таковых. Поэтому исследование взаимного расположения прямой и плоскости сводится к нахождению точек пересечения этих геометрических объектов. В случае пересечения прямой с плоскостью, их взаимное расположение может также характеризоваться углом, который образует прямая с плоскостью. Рассмотрим решение этих задач подробнее.