3. Дискретні випадкові величини

3.1. Поняття дискретної випадкової величини

Нехай – ймовірносний простір, а – скінченна або зліченна множина подій таких, що , . Через будемо позначати індикатор події :

Дискретною випадковою величиною будемо називати лінійну комбінацію індикаторів . Очевидно, що для і множина усіх значень не більш ніж зліченна.

Наведемо приклад дискретної випадкової величини.

Схема випробувань Бернуллі. Нехай 0 або 1, і=1,...,п}, U – множина усіх підмножин . Задамо два числа р₀, р₁> 0, р₀+р₁=1, які будемо тлумачити як ймовірність невдачі (випадіння 0) і ймовірність успіху (випадіння 1). Покладемо за визначенням

. (3.1)

Незалежними випробуваннями Бернуллі будемо називати скінченну ймовірносну схему ( ), у якій ймовірності елементарних подій визначаються формулою (3.1).

Задамо на ( ) випадкову величину - число успіхів у n випробуваннях Бернуллі: . Усі можливі значення .

Введемо позначення

Тоді

.

Так як ймовірність кожної елементарної події з А_i дорівнює p₁^і·p₀^n-і, то для того, щоб обчислити ймовірність події А_i, необхідно підрахувати число елементарних подій, які входять у А_i. Це число співпадає з числом ланцюжків довжини n, складених з нулів та одиниць, у яких рівно „і” одиниць. Число таких ланцюжків дорівнює C_nⁱ . Таким чином

. (3.2)

Для зручності перепозначимо р₁ = р; р₀ = 1–р = q. Тоді

. (3.2’)

3.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Законом розподілу випадкової величини  будемо називати ймовірність P{B}, що розглядається як функція числової множини B. Закон розподілу визначається значеннями , які приймає , і ймовірностями цих значень. Позначимо . Тоді закон розподілу P{B} можна визначити за допомогою таблиці

(3.3)

Очевидно, що і . Те, що таблиця (3.3) визначає закон розподілу, підтверджує рівність

.

Іноді законом розподілу називають саму таблицю (3.3).

Наведемо приклади законів розподілу.

1) Біноміальний закон розподілу:

.

Дійсне число і натуральне число є параметрами цього закону. Випадкова величина , якій відповідає цей закон розподілу, представляє собою число успіхів у незалежних випробуваннях Бернуллі з імовірністю успіху і невдачі .

2) Гіпергеометричний закон розподілу:

, ,

де , N, M, n – деякі натуральні числа такі, що M, n < N.

Випадкова величина , якій відповідає цей закон розподілу, дорівнює числу білих куль у виборці об’єму n з урни, яка містить М – білих і N-M чорних куль.

3) Пуассонівський закон розподілу:

.

Дійсне число є параметром пуассонівського закону розподілу.

4) Геометричний закон розподілу:

.

Число є параметром геометричного закону розподілу.

Випадкова величина , що має геометричний розподіл, описує довжину серії успіхів у схемі Бернуллі при необмеженому числі випробувань.

3.3. Математичне сподівання

Дискретна випадкова величина називається сумовною, якщо ряд збігається абсолютно. В цьому випадку сума цього ряду

називається математичним сподіванням.

Теорема 3.1. Математичне сподівання має наступні властивості:

1. якщо індикатор події А, то ;

2. для будь-якої константи c ;

3. якщо випадкові величини і сумовні, то теж сумовна і ;

4. якщо (з імовірністю 1), то ;

5. якщо (з імовірністю 1) і то .

Математичне сподівання називається моментом п-го порядку випадкової величини . Абсолютним моментом п-го порядку будемо називати . Центральним моментом п-го порядку і абсолютним центральним моментом п-го порядку називається відповідно і .

Центральний момент другого порядку називається дисперсією випадкової величини і позначається .

Теорема 3.2. Дисперсія має наступні властивості:

1) ;

2) для будь-якої константи c

;

3) тоді і тільки тоді, коли .