4.6. Незалежність випадкових величин

Випадкові величини будемо називати незалежними, якщо для довільних борелівських множин B_R

. (4.5)

Припустимо, що . Тоді як наслідок отримаємо, що для незалежних випадкових величин

. (4.6)

Неважко показати, що з (4.6) випливає (4.5). Для цього слід використати той факт, що множини виду для різних породжують -алгебру борелівських множин B_R.

Таким чином можна дати еквівалентне визначення незалежності: випадкові величини – незалежні, якщо для багатовимірної функції розподілу виконується рівність (4.6).

Розглянемо властивості незалежних випадкових величин.

Лема 4.4. Якщо сумісний розподіл випадкових величин має щільність і величини незалежні, то

.

Лема 4.5. Якщо випадкові величини – незалежні і – борелівські функції, то випадкові величини – також незалежні.

Наступний результат представляє собою один з варіантів формули згортки для незалежних випадкових величин.

Теорема 4.5. Нехай  і  - незалежні випадкові величини, а і - їх щільності. Тоді випадкова величина має щільність, що визначається рівністю

. (4.7)

4.7. Математичне сподівання

Нехай ймовірносний простір. Випадкову величину будемо називати простою, якщо вона приймає скінченне число значень , . Якщо , то .

Позначимо через – клас невід’ємних простих випадкових величин.

Для довільної покладемо

.

Відзначимо елементарні властивості математичного сподівання:

1) ;

2) ;

3) .

З 1), 3) маємо наступний наслідок.

4) Якщо , то .

Нехай - множина невід’ємних випадкових величин.

Лема 4.6. Для будь-якої завжди існує послідовність така, що для довільного .

Відмітимо, що послідовність монотонна, а значить її границя існує (можливо дорівнює +∞).

Щоб довести коректність визначення математичного сподівання в класі , треба показати, що для будь-якої іншої послідовності такої, що для ,

.

Лема 4.7. Нехай , і , . Тоді

.

Лема 4.8. Нехай , і при . Тоді

.

Граничним переходом властивості 1)-4) переносяться на математичне сподівання для випадкових величин з більш широкого класу .

Нехай тепер - довільна випадкова величина. Вона єдиним чином може бути подана у вигляді , де , . Очевидно, що . Покладемо за визначенням

,

якщо і не рівні одночасно .

При . При .

Властивості 1)-4) легко перевіряються і в цьому випадку.

Доведемо мультиплікативну властивість математичного сподівання.

Теорема 4.6. Якщо - незалежні і мають скінченні математичні сподівання , то

. (4.8)

4.8. Теорема Лебега. Формули для обчислення математичного сподівання

Наведене нами у попередньому підрозділі визначення математичного сподівання є інтеграл Лебега від функції за ймовірносною мірою . Для такого інтегралу будемо використовувати позначення

.

Якщо , то інтеграл Лебега по множині визначається як інтеграл від функції

.

В теорії міри доводиться теорема Лебега про мажоровну збіжність. Перед тим, як сформулювати аналогічну теорему для математичних сподівань, ми введемо поняття збіжності майже всюди.

На одному ймовірносному просторі розглянемо послідовність випадкових величин і випадкову величину . Множина і містить ті , для яких границя існує і дорівнює .

Будемо говорити, що послідовність збігається майже всюди (м.в.) до випадкової величини і писати , якщо .

Теорема 4.7 (Лебега). Якщо і , де , то

.

Випадковій величині , яка задана на ймовірносному просторі , , відповідає випадкова величина , яка задана на вибірковому ймовірносному просторі (R, B_R, P_) _, , і має таку ж функцію розподілу .

Лема 4.9. Для справедлива формула

. (4.9)

Імовірнісна міра на - алгебрі борелівських множин , як ми знаємо, однозначно визначається функцією розподілу випадкової величини . Таким чином з рівності (4.9) можна зробити висновок: математичне сподівання випадкової величини однозначно визначається її функцією розподілу і не залежить від конкретного способу подання випадкової величини. Інтеграл Лебега називається інтегралом Лебега-Стільтьєса і позначається (L-S) .

Якщо – борелівська функція, то – випадкова величина і аналогічно рівності (4.9) маємо

. (4.10)

У випадку, коли - неперервна функція, інтеграл Лебега-Стільтьєса співпадає з інтегралом Рімана - Стільтьєса, що дорівнює

,

де границя в правій частині не залежить від розбиття півінтервалу і вибору точок . Розбиття (своє для кожного ) таке, що при .

Частковим випадком (4.10) є наступна формула для математичного сподівання

.

Якщо випадкова величина має щільність і функції , інтегровні за Ріманом, то

.