4.3. Дискретні, абсолютно неперервні і сингулярні розподіли

За функцією розподілу можна дати класифікацію розподілів випадкових величин. Щоб зробити перший крок у цьому напрямку, доведемо такий результат.

Лема 4.3. Довільна функція розподілу F(x) має не більш як зліченне число точок розриву першого роду.

Позначимо через усі точки розриву . Якщо ймовірності такі, що , то ми говоримо, що випадкова величина ξ має дискретний розподіл.

Прикладами дискретних розподілів є біноміальний, пуассонівський, геометричний розподіли.

Розподіл випадкової величини ξ будемо називати абсолютно неперервним, якщо існує вимірна функція , яка називається щільністю, така, що .

Щільність задовольняє наступним властивостям:

а) у точках неперервності ;

б) .

Розглянемо приклади основних абсолютно неперервних розподілів.

1) Нормальний (або гауссівський) розподіл.

Випадкова величина ξ має нормальний розподіл з параметрами , якщо вона має щільність

, .

Нормальний розподіл з параметрами (0,1) і щільністю називається стандартним.

2) Рівномірний розподіл.

Будемо говорити, що випадкова величина ξ має рівномірний розподіл на відрізку , якщо її щільність має вигляд

3) Показниковий розподіл.

Випадкова величина ξ має показниковий (експоненціальний) розподіл з параметром , якщо її щільність має вигляд

Якщо функція розподілу випадкової величини ξ неперервна, але не має щільності, то розподіл ξ називається сингулярним.

Прикладом сингулярної функції розподілу є крива Кантора . Для і при . На відрізку будується наступним чином.

Відрізок розбивається на три рівні частини . На внутрішньому сегменті покладемо . Два сегменти, що залишилися, знову розбиваємо на три рівні частини кожний і на внутрішніх сегментах задаємо рівною і відповідно. Кожен з тих сегментів, що залишилися, знову ділимо на три рівні частини і на внутрішніх сегментах визначаємо як сталу, що дорівнює середньому арифметичному між сусідніми значеннями, що вже визначені для , і т.д. В точках, що не належать внутрішнім сегментам, визначимо за властивістю неперервності.

Неважко бачити, що сумарна довжина внутрішніх сегментів, на яких стала, дорівнює

.

Таким чином функція зростає на множині міри Лебега 0, але без стрибків: майже всюди.

У загальному випадку будь-яку функцію розподілу можна подати у вигляді

,

де , – дискретна функція розподілу, – абсолютно неперервна функція розподілу, – сингулярна функція розподілу.

4.4. Функції від випадкових величин

Нехай – вимірне відображення , тобто для будь-якого ВB_R, B_R. Такі функції називаються борелівськими. До множини борелівських функцій належать у частковому випадку неперервні і кусково-неперервні функції.

Теорема 4.3. Якщо ξ – випадкова величина, а g(x) – борелівська функція, то - випадкова величина.

4.5. Багатовимірні розподіли

Нехай - ймовірносний простір, на якому задані випадкові величини . Так як згідно визначення , то

(4.2)

Ймовірність події (4.2) будемо називати багатовимірною функцією розподілу

.

Часто індекси будемо опускати.

Позначимо через - різницю n-го порядку за аргументами з приростами .

Ці різниці визначаються послідовно наступним чином

,

і т.д.

Остаточно має місце подання

,

де підсумовування ведеться за всіма , які дорівнюють 0 або 1.

За допомогою можна обчислити ймовірність потрапляння у довільний прямокутник виду

.

Доведемо формулу

(4.3)

На першому кроці

.

Далі

.

На п-ому кроці цієї процедури отримаємо (4.3).

Аналогічно, як і в одновимірному випадку, доводиться наступна теорема.

Теорема 4.4. Для багатовимірної функції розподілу виконуються властивості:

1) по кожному аргументу неспадна і неперервна справа;

2) ;

3) ;

4) Для довільних .

Будь яка функція , яка задовольняє властивостям 1)-4), є багатовимірною функцією розподілу для деяких .

Багатовимірний розподіл вектора будемо називати дискретним, якщо випадковий вектор приймає скінченне або зліченне число значень.

Розглянемо такий приклад. Проводиться п незалежних випробовувань. Кожне випробовування має результатом одну з r несумісних подій , які трапляються з імовірностями відповідно . Нехай - число появ у п випробуваннях. Тоді вектор має так званий мультиноміальний розподіл

,

де - цілі, невід’ємні числа такі, що .

Багатовимірний розподіл будемо називати абсолютно неперервним, якщо існує вимірна функція , яка називається щільністю, що

.

Щільність має наступні властивості:

а) у точках неперервності щільності;

b) .

Розподіл вектора називається нормальним, якщо він має щільність

,

де - додатньо визначена квадратична форма, - визначник матриці .