Цель работы

Объектом исследования является метод расчета пластинок в компонентах вектора перемещения с использованием метода конечных элементов (МКЭ).

В процессе выполнения работы:

- изучается методика записи дифференциального уравнения изгиба пластинки и граничных условий в виде конечно-элементных аналогов (КЭ - аналогов);

- изучается методика правильного заполнения матрицы системы конечно-элементных уравнений (КЭ — уравнений);

- изучаются вопросы сходимости решений МКЭ при уменьшении шага сетки и получения решения задачи с заданной точностью при действии нагрузок произвольного вида;

- изучаются вопросы расчета пластинок в случае различных условий опирания на противоположных сторонах контура;

- изучаются вопросы сопоставления решения МКЭ и метода конечных разностей (МКР).

Задание на работу

Для пластинки, изображенной на рис.1 с заданными нагрузками q(х) и Р и соотношением сторон а/b, требуется:

1. Записать дифференциальное уравнение изгиба пластинки и граничные условия задачи.

2. Записать выражения для прогиба W.изгибающих и крутящего моментов М_х(х,у), М_у(х,у), Н(х,у).

3. Записать дифференциальное уравнение и граничные условия для пластинки с учетом конечно-элементных аналогов.

4. Решить задачу на действие распределенной нагрузки на ПЭВМ с помощью программного комплекса «Лира 9.0» для идеализированных опорных закреплений.

5. Построить в заданных сечениях пластинки эпюры M_x, M_y,Н.

6. Рассчитать пластинку методом конечных разностей (МКР) и сопоставить полученной решение с результатами расчета МКЭ.

Рис.1

Теоретическая часть

Пластинкой называют тело, имеющее форму прямой призмы высота которого /г значительно меньше размеров основания а и Ь, рис. 1, 2, 3.

а)

Рис.2

б)

Рис.3

Плоскость, которая делит высоту пластины пополам называет срединной плоскостью. Теория изгиба пластин начинает свое развитие с работ Софи Жермен и Лагранжа.

Теория тонких пластинок построена с использованием следующих гипотез:

1. Считаем, что при изгибе пластинки ее толщина h не изменяется а слои волокон, параллельные срединной плоскости, не давят друг на друга, то есть σ_z=0, _z=0.

2. Считаем, что всякий прямой элемент, перпендикулярный к срединной плоскости до деформации, остается прямым и перпендикулярным к ней и после деформации, то есть γ_xz=0, γ_yz=0.

3. Считаем срединную плоскость пластинки нерастяжимой, то есть при z=0 имеем U=0, V=0.

При расчете пластинок методом конечных элементов (МКЭ) будем использовать те же допущения. Следовательно, точность получаемых приближенных решений может быть проверена при сопоставлении их с известными решениями технической теории изгиба пластин, основанной на упомянутых допущениях.

Пластинки различают на жесткие (сравнительно толстые), тонкие и мембраны (очень тонкие). Рассмотрим теорию расчета тонких упругих пластинок, для которых справедливы следующие соотношения:

1. Уравнение равновесия:

(1)

где М_x(х,у), М_у(х,у), Н(х,у)- изгибающие и крутящий моменты.

2. Геометрические соотношения (соотношения Коши):

₍₂₎

где z- координата по толщине пластинки, W(х,у)- прогиб пластинки, постоянный по ее толщине, _х, _у,γ_ху- деформации в произвольной точке пластинки, χ_x, χ_y - деформации в срединной плоскости пластинки, χ-деформация кручения срединной плоскости пластинки.

3. Физические соотношения (закон Гука):

(3)

Интенсивности внутренних силовых факторов (изгибающих и крутящего моментов М_x(х,у), М_у(х,у), Н(х,у)) являются погонными величинами, отнесенными к единице длины сечения пластинки, измеряются в (НМ/М) и подсчитываются по формулам:

₍₄₎

При подстановке в (4) выражений (3) формулы для погонных момен­тов М_х(x,у), M_y(х,у), Н(х,у) принимают вид [1, 2]:

₍₅₎

Подстановкой выражений (5) в (1) получаем уравнение равновесия элемента пластинки (уравнение Софи Жермен):

₍₆₎

Уравнение (6) является неоднородным дифференциальным уравнени­ем четвертого порядка в частных производных. В связи с этим для реше­ния конкретной задачи по каждому направлению в пластинке необходимо задать четыре граничных условия: два на одном и два на другом крае. Рас­смотрим варианты задания граничных условий.

Защемленный край. Если край пластины x= 0 защемлен, то прогиб в точках этого края равен нулю, и заделанное сечение пластины не повора­чивается (плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает со срединной плоскостью пластинки до изгиба) [1,2]:

₍₇₎

Условия типа (7) называются геометрическими.

Шарнирно-опертый край. Если край пластины х = 0 шарнирно оперт и может свободно поворачиваться, то прогиб и изгибающий момент на этом крае должны быть равны нулю [1,2]:

В данном случае шарнирные опоры предполагаются жесткими (w= 0) и линия x= 0 остается неизогнутой. Поэтому обращаются в ноль производные:

Тогда граничные условия для шарнирно опертого края будут:

₍₉₎

Условия типа (8) называются смешанными (статически геометрическими).

Свободный край. Если край x= 0 свободен от опорных закреплений, то для него обращаются в ноль изгибающие моменты М_х и приведенные поперечные силы Q^*_x (статические граничные условия) [1,2]:

₍₁₀₎

Переходим к изложению методики решения задач изгиба пластинок, основанной на использовании метода конечных элементов (МКЭ).