8.1 Мета роботи

Вивчити методику розрахунку і побудови фазового портрета нелінійної системи другого порядку, за допомогою осцилографа дослідити фазовий портрет нелінійної системи

8.2. Теоретичний аналіз

На рис. 8.1 приведена структурна схема нелінійної системи другого порядку

Рис. 8.1. Структурна схема системи

Відповідно до структурної схеми диференціальне рівняння, що описує динамічні властивості системи має вигляд

Рівняння /1/ - нелінійне із-за нелінійиості статичної характеристики нелінійного елемента и(є) . Характер нелінійиості такий, що апроксимується відрізками прямих згідно з рівняннями

- В при >С, | < С , < 0 /2/

= -В при < с < с , > 0 /З/

де =g-x

Таким чином рух системи можна представити двома лінійними рівняннями, які описують певні ділянки траєкторії у відповідності до умов /2/ і /З/

/4/

/5/

Для побудови фазового портрета рівняння /4/ /5/ записують у формі Коші. Так, для рівняння /4/ отримують систему рівнянь

/6/

Тут під s мається на увазі комплексна змінна s = + jω. При = 0

перетворення Лапласа переходить в його окремий випадок - перетворення Фур'є.

Передаточною функцією лінійної ланки називається відношення зображення Лапласа вихідної величини Y(s)до зображення вхідної величини Х(s)при нульових початкових умовах:

В операторній формі диференціальне рівняння приймає вигляд:

Знайшовши відношення зображень, отримуємо вираз для передаточної функції:

З виразу для передаточної функції видно, що вона є відношенням двох поліномів по 5 з коефіцієнтами, що відповідають коефіцієнтам диференціального рівняння. Таким чином встановлюється однозначний зв'язок між передаточною функцією та диференціальним рівнянням.

Перехідною характеристикою ланки (системи) називають її реакцію на одиничну ступінчасту дію. Вона показує, як змінюється вихідна величина ланки, коли вхідна величина є одиничною ступінчастою функцією.

Математично одинична ступінчаста функція задається виразом:

Зображення Лапласа одиничної ступінчастої функції:

Тому зображення перехідної характеристики:

Переходячи від зображення до оригіналу, знаходимо вираз для перехідної характеристики:

Цей вираз підкреслює наявність зв'язку між перехідною характеристикою і передаточною функцією ланки.

Таким чином за перехідною характеристикою системи можна оцінити її динамічні властивості. У випадку, коли перехідну характеристику визначено експериментальним шляхом на її основі можуть бути встановлені параметри ланки.

Разом з тим, знаючи реакцію лінійної системи на ступінчасту дію, можна розрахувати реакцію на довільну дію, використовуючи інтеграл згортки: