Def Центральный момент n-го порядка
Второй центральный момент (М2)
называется дисперсией
Д
ля
гауссовского распределения
Само
называется среднеквадратичной
флуктуацией. Смысл для гауссовского
распределения
- ширина кривой по
,
характеризующая степень разброса
вблизи среднего. Говорить о
имеет смысл когда
Def:
- относительная флуктуация.
Задачи по теории вероятностей.
В корзине 20 шаров 10 черных и 10 белых. Найти вероятность того, что из трех наугад вытащенных шаров два окажутся одного цвета.
Решение: Запишем это событие в виде
Все элементарные события – независимы,
поэтому можно применять теорему о
сложении вероятностей:
Для вычисления
применить теорему умножения вероятностей.
Аналогично для
и
.
Таким образом
Три стрелка стреляют в мишень вероятность попадания одного стрелка – 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,6. Определить вероятность того, что в мишень попало два стрелка.
Решение: Запишем это событие в виде
Все эти события независимы, так что вероятности просто нужно сложить (черта означает вероятность непопадания).
и.т.д.
Так что:
Определить вероятность выигрыша в 6 из 45
Р
ешение:
Пусть все шары вытаскивают до
последнего. В результате получаем
конфигурацию чисел
.
Это можно реализовать
способами, причем внутри каждой группы
числа могут идти в любой последовательности,
например:
- эквивалентная конфигурация, поэтому
число различных перестановок между
двумя группами будет в
раз меньше и равно
Выигрышной будет только одна комбинация, когда 6 заданных чисел выпадут первыми в любой последовательности.
5 номеров: истинных номеров среди первых шести должно быть пять (с любыми перестановками пяти истинных и одного ложного номера). При этом один истинный номер должен попасть в группу к ложным.
Т
аких
вариантов будет очевидно
Аналогично для 4:
3:
4. Плотность распределения
.
Найти вероятность обнаружить значение
больше ее удвоенного среднего.
Решение:
Найдем с:
Искомая вероятность:
5. Плотность распределения
.
Найти вероятность того, что при случайном
наблюдении
ее значение будет больше среднего.
Решение:
.
(дифференцирование по параметру).
6. Случайная фаза распределена по отрезку
с плотностью
. Найти
.
(
вне отрезка равна нулю).
Решение:
,
следовательно
и
.
7. Плотность распределения
.
Найти с и вероятность того, что
лежит в интервале
.
Решение: из условия нормировки находим:
.
Искомая вероятность равна:
.
8. Математический маятник совершает
колебания по закону
.
Найти вероятность того, что при случайном
измерении угла его значение будет лежать
в интервале
.
Решение: Мерой вероятности является время которое маятник проводит в данном интервале углов.
(за период данный сектор маятник проходит
дважды)
и, следовательно
.
Фазовое пространство. Теорема Лиувилля.
Теорема Лиувилля говорит о сохранении
фазового объема, занимаемого фазовыми
точками в начальный момент времени. Эти
точки движутся так, что их плотность не
изменяется, так, что
.
Это дает возможность установить связь
между энергией и
Задачи
9. Определить фазовую траекторию тела
массой
,
которое движется в постоянном
гравитационном поле с начальной скоростью
(направленной вверх). Начальная координата
.
Решение: Поле постоянно, следовательно, существует интеграл энергии:
.
Следовательно, уравнение траектории
.
10. Определить фазовую траекторию для
частиц массой
и зарядом
,
движущейся под действием силы притяжения
к неподвижному заряду
.
.
Решение: Поле тяжести постоянно,
так что энергия при движении сохраняется
.
Следовательно
Определить фазовую траекторию линейного гармонического осциллятора со слабым затуханием. Как изменяется со временем фазовый объем?
Решение: Уравнение движения такого осциллятора
,
Решение этого уравнения имеет вид
-
корни характеристического уравнения.
(такое решение сразу удовлетворяет начальным условиям).
Очевидно, что
,
т
о
есть фазовая траектория – эллипс (в
координатах
и
- окружность радиуса
).
С течением времени фазовый объем
(площадь круга) будет экспоненциально
убывать, так, что
так как затухание слабое, то за период
радиус можно считать постоянным.
12. Определить фазовую траекторию для
физического маятника массы
.
Момент инерции
,
приведенная длинна
.
Решение: Будем использовать закон сохранения энергии (как для обычных колебаний)
где
- обобщенный импульс
.
Следовательно
а)
.
В этом случае маятник будет совершать
вращательное движение:
б)
.
В этом случае
.
Следовательно, время достижения верхней
точки
в)
.
Подкоренное выражение должно быть
положительным
.
-
максимальный угол (
).
.
В этом случае движение будет периодическим.
13. Проверить выполнимость теоремы Лиувилля для:
а) упругого столкновения двух шаров;
б) движения частиц в постоянном поле
тяжести с начальными условиями
,
,
.
Решение: а) Используем закон сохранения энергии и импульса.
.
Следовательно
.
Таким образом
;
И
,
то есть фазовой объем сохраняется.
б) Уравнения движения
,
,
,
,
.
И следовательно
в каждый момент времени.