§ 8.21. Соединения конденсаторов

^{Рис. 3}

Рассмотрим кратко два простейших способа соединения нескольких конденсаторов — последовательное и параллельное (рис. 3, а и б). Возникает вопрос: может ли каждая из этих батарей быть заменена на один эквивалентный конденсатор и, если да, то какова его ёмкость? Да, гласит ответ, может. При этом оказывается, что

(5)

. (6)

Для доказательства первой формулы учтем, что каждый из цепочки последовательно соединённых конденсаторов при подаче напряжения зарядится одним и тем же зарядом q (если, конечно, все они первоначально были разряжены). В самом деле, если на внутренней поверхности левой обкладки конденсатора С₁ (рис. 3, а) появится заряд +q, то на внутренней поверхности правой его обкладки — очевидно, заряд ₋q. Эта система зарядов, как было показано в предыдущем параграфе, поля вне конденсатора С₁ не создаёт. Поскольку правая обкладка С₁ не заряжена, на ней высвободится заряд ₊q, который должен где-то разместиться. Предположим, что он целиком перейдет на внутреннюю сторону левой обкладки конденсатора С₂. Тогда на внутренней стороне правой его обкладки индуцируется заряд ₋q и т. д. Ни на соединительных проводах, ни на внешних сторонах обкладок, по предположению, избыточных зарядов не образуется. Но в силу теоремы единственности именно такое распределение и будет иметь место, ибо оно не создаёт поля ни в одном из рассматриваемых проводников.

Теперь уже нетрудно получить выражение для эквивалентной ёмкости цепочки. Действительно, разность потенциалов между её концами равна, очевидно,

и пропорциональна заряду q, откуда и следует формула (5).

Доказательство почти очевидной формулы (6) мы предоставляем читателю провести самостоятельно.

§ 8.22. Сложные конденсаторы1

Проиллюстрируем возможности использования метода наложения ещё на одном примере, позволяющем обобщить понятие ёмкости на случай более чем двух заряженных проводников. Такая система проводников, если в область, где они создают поле, не проникают внешние поля, называется сложным конденсатором.

Как было показано, потенциал уединённого проводника всегда пропорционален его заряду. Для неуединённого проводника, вообще говоря, это неверно. Однако в одном-единственном случае и у неуединённого проводника эта пропорциональность сохраняется. Этот случай соответствует ситуации, когда рассматриваемый проводник окружён системой незаряженных проводников (и ничего больше кругом нет). Действительно, если на проводник 1 поместить заряд q₁ (рис. 4), то в окружающем пространстве возникнет электрическое поле. Это поле вызовет перераспределение зарядов на остальных проводниках, и каждый из них тоже создаст вокруг себя какое-то поле. Посредством этих полей все проводники будут влиять друг на друга (в том числе и на проводник 1), и в итоге на каждом установится вполне определённая плотность поверхностного заряда s_i(М), такая что полное поле внутри каждого проводника обратится в нуль. По теореме единственности других распределений, удовлетворяющих этому условию, не существует.

Рис. 4

Удвоим теперь заряд проводника 1. При этом, чтобы поле внутри любого из них осталось нулевым, достаточно предположить, что все тоже удвоятся¹. В самом деле, удвоенные распределения удвоят вклад DЕ_j каждого малого кусочка поверхностного заряда в общее поле, не меняя его по направлению. Поэтому там, где его не было (т. е. внутри всех проводников), оно и не возникнет. Таким образом, сделанное предположение является верным и по теореме единственности единственно возможным, и распределения s_i(М) на поверхности каждого проводника действительно удвоятся. Это повлечёт за собой удвоение величин поля и потенциала в любой точке, занятой полем. В том числе удвоятся и потенциалы рассматриваемых проводников. Другими словами, потенциалы всех незаряженных проводников и проводника 1 оказываются пропорциональными заряду q₁ этого одного проводника:

где постоянные p₁₁, p₂₁,..., p_n1 называются потенциальными коэффициентами и определяются геометрией системы. Заряжая последовательно проводники 2, 3,..., n зарядами q₂, q₃, ..., q_n и оставляя при этом все остальные проводники незаряженными, получим аналогичные соотношения:

j₁ = p₁₂q₂, j₂ = p₂₂q₂, j_n = p_n2q_{2 ,}

_{.....................................................................}

j₁ = p_1nq_n, j₂ = p_2nq_n, j_n = p_nnq_n.

Наложим теперь все рассмотренные распределения заряда друг на друга. Поскольку каждое из них не даёт поля ни в одном из проводников, простая их суперпозиция (без взаимного искажения) также его там не даст. А это и значит, что именно такая суперпозиция будет иметь место, если систему проводников зарядить произвольными зарядами q₁, q₂, ..., q_n. Тогда все поля и потенциалы наложатся, и для потенциала каждого проводника в общем случае (когда остальные тоже заряжены) можно написать:

j₁ = p₁₁q₁ + p₁₂q₂ +...+ p_1nq_n,

j₂ = p₂₁q₁ + p₂₂q₂ +...+ p_2nq_n,

......................................... (7)

j_n = p_n1q₁ + p_n2q₂ +...+ p_nnq_n.

Решая эту систему относительно переменных q_i, получим

q₁ = С₁₁j₁ + С₁₂j₂ +...+ С_1nj_n,

q₂ = С₂₁j₁ + С₂₂j₂ +...+ С_2nj_n,

........................................... (8)

q_n = С_n1j₁ + С_n2j₂ +...+ С_nnj_n,

где константы C_ij называются ёмкостными коэффициентами и выражаются через потенциальные коэффициенты p_ij. Отметим, что коэффициент С₁₁, например, как это явствует из приведенных рассуждений, не совпадает с ёмкостью уединённого проводника 1 (т. е. когда остальные проводники устранены). Ёмкостные коэффициенты (как и потенциальные) оказываются связанными друг с другом. Можно показать, что

C_ij = C_ji , (9)

p_ij = p_ji ,

на чём, однако, мы останавливаться не будем.