§ 8.25. Электрическое поле в однородном диэлектрике

Для расчёта поля любой системы зарядов в произвольной среде можно пользоваться полной системой уравнений электростатики (7л11). При этом в правую часть теоремы Гаусса нужно включить полный заряд, находящийся внутри выбранной замкнутой поверхности. В него, конечно, будут давать вклад и поляризационные заряды, могущие возникнуть в объёме диэлектрика, расположенного внутри этой поверхности. Можно, однако, преобразовать уравнение таким образом, чтобы в него входили лишь свободные заряды, находящиеся на проводниках, а влияние диэлектрика учитывалось бы введением его проницаемости e. Для случая однородного диэлектрика, заполняющего всё пространство, занятое полем, преобразованное уравнение оказывается весьма простым и система основных уравнений принимает вид

(14)

соответственно для любой замкнутой поверхности S и любого замкнутого контура Г¹. Под q здесь понимается, как отмечалось, свободный заряд внутри S. Из (14) следует, что в объёме диэлектрика в этом случае поляризационные заряды не возникают и для произвольной системы (свободных) зарядов поле Е и потенциал j в любой точке уменьшаются в e раз:

(15)

где Е₀ и j₀ — соответственно поле и потенциал, создаваемые теми же свободными зарядами в вакууме. Ёмкость любого конденсатора возрастёт при этом тоже в  раз.

Рис. 11

Следует иметь в виду, что эти простые соотношения (14) и (15) справедливы только для однородного диэлектрика, заполняющего всё поле. В общем случае неоднородного произвольно ограниченного диэлектрика они оказываются совершенно неприменимыми. В качестве примера подобной ситуации рассмотрим продолговатый кусок диэлектрика, помещённый в поле точечного заряда +q (рис. 11). В точках М₁ и М₂ благодаря поляризации диэлектрика поле не ослабнет, как того требует формула (15), а, наоборот, усилится (но, конечно, не в e раз). В точке же М₃ поляризация диэлектрика вызовет ослабление первоначального поля заряда q. В точках в стороне от штриховой оси диэлектрик изменит первоначальное поле не только по величине, но и по направлению. Этот пример показывает, насколько усложняется картина поля и его уравнения в неоднородном диэлектрике (рассматриваемый брусок c проницаемостью e можно, очевидно, считать неоднородностью воздушного диэлектрика, заполняющего всё пространство).

Приведём ещё один пример, но уже более простой системы, поддающейся элементарному расчёту. Найдём поляризационные заряды, возникающие в диэлектрике с проницаемостью e, заполняющем всё пространство между обкладками заряженного зарядами ±q сферического конденсатора (рис. 12).

Рис. 12

Поскольку диэлектрик заполняет всю область, занятую полем, в соответствии с (14) объёмных поляризационных зарядов в нём не возникает, а появляются лишь поверхностные заряды ±q', выделяющиеся на его границах. Они возбуждают собственное поле Е¢, ослабляющее поле Е₀ свободных зарядов в e раз. Таким образом, с одной стороны, в любой точке внутри диэлектрика поле

E = E_{0 -} E¢,

с другой — то же самое поле

.

Приравнивая, получаем

E_{0 -} E¢ = ,

откуда

E¢ =

Поле Е создаётся свободным зарядом, размещённым на внутренней сфере (заряды внешней сферы поле внутри неё не возбуждают), а поле Е¢— расположенным там же связанным зарядом q¢:

(в системе СГСЭ), где r — расстояние от рассматриваемой точки до центра сфер. Отсюда сразу находим

.

Равный заряд противоположного знака выделится, очевидно, на внешней сфере (ибо в целом диэлектрик электронейтрален).