Поле бесконечной равномерно заряженной по поверхности плоскости.
Обозначим символом σ поверхностную плотность заряда на плоскости. Из соображений симметрии следует:
напряжённость электрического поля в любой точке перпендикулярна к плоскости;
в точках, симметрично расположенных по обе стороны плоскости напряжённость электрического поля имеет одинаковую величину и противоположное направление (рис.1.9).
Т
акая
конфигурация поля подсказывает, что в
качестве вспомогательной замкнутой
поверхности можно выбрать поверхность
цилиндра, основания которого параллельны
плоскости (рис.1.10).
Поток вектора сквозь поверхность цилиндра равен сумме потоков сквозь боковую поверхность и потоков сквозь основания цилиндра:
.
(1.31)
Поток сквозь
боковую поверхность равен нулю, так как
вектор
параллелен боковой поверхности:
.
Поэтому
,
(1.32)
где
- площадь основания цилиндра.
Заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра, равен:
.
(1.33)
Применяя теорему Гаусса, получим:
.
(1.34)
После сокращения на получим:
.
(1.35)
На всех расстояниях от плоскости напряжённость поля одинакова по величине.
2. Поле двух бесконечных параллельных плоскостей, заряженных разноимённо.
П
оверхностная
плотность заряда на плоскостях равна
соответственно +σ и -σ (рис.
1.11). Каждая из плоскостей создает вокруг
себя электрическое поле. Обозначим
напряжённости этих полей
и
.
Напряжённость результирующего поля
найдем, применяя принцип суперпозиции
полей:
= + . (1.36)
В промежутке между плоскостями напряжённости и имеют одинаковое направление ( , рис.1.11), поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей:
. (1.37)
Окончательно
получим:
.
(1.38)
Вне промежутка между плоскостями складываемые поля равны по модулю и противоположно направлены ( , рис.1.11), поэтому напряжённость результирующего поля равна нулю. Таким образом, электрическое поле будет полностью сосредоточено в области между заряженными плоскостями и является однородным.
С
истема,
состоящая из двух параллельных пластин,
расстояние между которыми много меньше
их размеров ( d<<l
) называется плоским конденсатором.
Изобразим графически поле внутри
заряженного плоского конденсатора
(рис.). Внутри конденсатора поле однородно.
У краев наблюдается искривление линий
вектора напряженности: так называемые
«краевые эффекты», которыми обычно
пренебрегают в расчётах.
3.Поле бесконечного равномерно заряженного по поверхности цилиндра
Обозначим радиус цилиндра R, и пусть на единице длины цилиндра находится заряд τ (τ – линейная плотность заряда). Из соображений симметрии следует, что в этом случае поле имеет радиальный характер. Это означает следующее:
вектор напряжённости поля лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра;
напряжённость поля в любой точке направлена вдоль радиальной прямой;
модуль вектора зависит только от расстояния r от оси цилиндра, то есть E=E(r).
В
ыберем
замкнутую поверхность в виде коаксиального
цилиндра высоты h и
радиуса r
R. Поток вектора
сквозь поверхность вспомогательного
цилиндра равен сумме потоков сквозь
его боковую поверхность и потоков сквозь
его основания:
. (1.39)
Поток сквозь
основания цилиндра равен нулю, так как
вектор
параллелен плоскости оснований:
.
Поэтому
.
(1.40)
Заряд, заключённый внутри вспомогательного цилиндра, равен:
.
(1.41)
Применяя теорему Гаусса, получим:
.
(1.42)
После сокращения на h получим:
.
(1.43)
Если радиус вспомогательного цилиндра r < R, то заряд заключённый внутри него, равен нулю, и напряженность электрического поля также будет равна нулю.