Решение типовых примеров
Пример
7. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение. Положим y′=p(y), , . Тогда уравнение преобразуется к виду
.
Приведя
подобные члены и сократив на
(при этом следует учесть теряемое
решение p=0,
или y=c),
получим
.
Положив
здесь
,
,
придем к уравнению
.
Сократив
на z
(при этом следует учесть еще одно решение
,
то есть
и
),
получим
,
откуда
,
или
.
Интегрируя последнее уравнение, находим
,
или
.
Окончательно
получим
,
где
,
,
то есть семейство парабол. Заметим, что
в общее решение входят потерянные ранее
частные решения.
Пример
8. Проинтегрировать
уравнение
.
Решение.
Данное
уравнение есть уравнение второго
порядка, не содержащее явным образом
независимой переменной. Понизим порядок
этого уравнения за счет введения новой
независимой переменной
(вместо
)
и новой искомой функции
(вместо
)
по формуле
.
Тогда
;
или
.
Это дифференциальное уравнение распадается на два:
и
.
Первое
из них дает
,
то есть
.
Во втором переменные разделяются:
,
то
есть
.
Вновь разделяя переменные, получим
.
Следовательно,
,
и общее решение данного уравнения имеет
вид:
.
Отметим,
что найденное выше решение
содержится в общем решении, так как
получается из него при
.
Примеры для самостоятельного решения
Задача 8.3
Найти частное решение дифференциального уравнения.
8.3.1.
8.3.2.
8.3.3.
8.3.4.
8.3.5.
8.3.6.
8.3.7.
8.3.8.
8.3.9.
8.3.10.
8.3.11.
8.3.12.
8.3.13.
8.3.14.
8.3.15.
8.3.16.
8.3.17.
8.3.18.
8.3.19.
8.3.20.
8.3.21.
8.3.22.
8.3.23.
8.3.24.
8.3.25.
.
8.3.26.
.
8.3.27.
.
8.3.28.
.
8.3.29.
.
8.3.30.
.
8.3.31.
.
8.3.32.
.
8.3.33.
.
8.3.34.
.
8.3.35.
.
8.3.36.
.
г)
Уравнения вида
,
то есть такие уравнения, в которых левая
часть может быть представлена как
полная производная по x
от некоторой функции
.
Интегрируя по x,
получим новое уравнение, порядок
которого ниже порядка исходного
уравнения.
Решение типовых примеров
Пример 9. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Левая часть уравнения есть полная
производная по x
от функции
,
а правая – от функции
,
то есть уравнение можно переписать
так:
.
Отсюда интегрированием получаем
,
или
.
Следовательно,
и, окончательно,
,
где
.
Это и есть общее решение.
Примеры для самостоятельного решения
Задача 8.4
8.4.1.
.
8.4.2.
.
д)
Уравнение
,
однородное относительно функции и ее
производных, то есть такое, что
,
t≠0.
Подстановкой y′=yz
порядок уравнения понижается на единицу.
Решение типовых примеров
Пример
10. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Положим y′=yz.
Тогда
и уравнение принимает вид
.
Сокращая
на
(при этом получается решение y=0),
находим
,
или
,
откуда
.
Так как
,
то приходим к уравнению
,
или
,
откуда
,
или
,
где
.
Это и есть общее решение, которое
содержит и потерянное частное решение
y=0.
В некоторых случаях найти решение в явной или неявной функции затруднительно, однако удается получить решение в параметрической форме.
Пример
11. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Положим y′=p,
.
Тогда уравнение примет вид
,
или
,
откуда
.
Так как dy=pdx,
то находим
,
откуда
,
и получаем общее решение в параметрическом
виде:
,
.