Примеры для самостоятельного решения
Задача 3
Проинтегрировать уравнение.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
.
3.27.
.
3.28.
.
3.29.
.
3.30.
.
3.31.
.
3.32.
.
3.33*.
.
Уравнение бернулли
Определение 1. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение 1-го порядка вида
, (4.1)
где m≠0, m≠1 (при m=0 уравнение (4.1) является линейным, а при m=1 – уравнением с разделяющимися переменными).
Так
же, как и линейное, уравнение Бернулли
можно проинтегрировать с помощью
подстановки
или свести к линейному уравнению с
помощью подстановки
.
Следует учесть, что при m>1
может быть потеряно решение y=0.
Решение типовых примеров
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение. Полагая , приводим уравнение к виду
.
(4.2)
Из общего решения u=Cx уравнения
выбираем одно частное решение, например,
.
Подставляя
в уравнение (4.2), получаем новое уравнение
,
или
.
Его общее решение
.
Перемножая
и v,
получаем общее решение исходного
уравнения
.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение.
Это уравнение Бернулли с m=-1.
Поэтому полагаем
и приводим уравнение к виду
.
Это
уравнение является линейным. Решая
однородное уравнение
,
находим z=Cx.
Отсюда методом вариации постоянной,
т.е. полагая z=xC(x),
получаем общее решение линейного
уравнения в виде
,
или, окончательно,
.
Пример
3. Найти
решение задачи Коши
если
.
Решение.
Это уравнение Бернулли. Полагая
,
а
,
будем иметь
Приравняв к нулю выражение в скобках, получим уравнение с разделяющими переменными
.
Найдем
одно из частных решений последнего
уравнения, поэтому при интегрировании
обеих частей уравнения произвольное
постоянное C
примем равным нулю, то есть
,
откуда
.
При этом значении уравнение для примет вид
откуда
.
Общее
решение уравнения имеет вид
Подставляя
в последнее выражение начальные условия
получим
Следовательно, искомое частное решение данного дифференциального уравнения
.
Примеры для самостоятельного решения
Задача 4
Найти решение задачи Коши.
4.1.
,
4.2.
,
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
;
.
4.27.
;
.
Решить дифференциальные уравнения:
4.28.
.
4.29.
.
4.30.
.
4.31.
.
4.32.
.