Проинтегрируем обе части уравнения
.
Полагая здесь , получим общий интеграл данного уравнения
.
Так как для интересующей нас кривой при , то . Итак, .
Пример
5. Составить
уравнение кривой, проходящей через
точку А(1;0),
если известно, что угловой коэффициент
касательной в каждой ее точке равен
.
Решение. На основании геометрического смысла производной
.
В
полученном уравнении
и
,
следовательно, оно однородное.
Положим , откуда . Тогда уравнение принимает вид
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя это уравнение, найдем:
.
Возвращаясь к прежней функции y, будем иметь:
.
Подставляя координаты точки А в найденное общее решение, получим
.
Итак, искомое уравнение кривой имеет вид
.
Примеры для самостоятельного решения
Задача 2
Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку А.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
.
2.27.
.
2.28.
.
2.29.
.
2.30.
.
Линейные уравнения первого порядка
Определение 5. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит y и y′ в первой степени, т.е. имеет вид
.
(3.1)
Определение 6. При Q(x)≡0 уравнение (3.1) принимает вид
и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, и его общее решение имеет вид
,
(3.2)
где
С –
произвольная постоянная, а
- одна из первообразных P(x).
Интегрирование линейного неоднородного уравнения (3.1) можно провести одним из следующих методов.
а) Метод вариации произвольной постоянной. Будем искать решение уравнения (3.1) в виде
,
(3.3)
который получается из (3.2), если заменить постоянную С на функцию C(x).
Подставляя выражение (3.3) в уравнение (3.1), получим для неизвестной функции C(x) уравнение с разделяющимися переменными:
.
Его общее решение:
,
где
С –
произвольная постоянная, а
- одна из первообразных.
Подставляя полученное выражение для C(x) в формулу (3.3), находим общее решение уравнения (3.1):
.
(3.4)
б)
Метод подстановки. Положим
.
Тогда уравнение (3.1) приводится к виду
.
(3.5)
Выберем функцию u(x) так, чтобы первая скобка в левой части уравнения (3.5) обратилась в нуль. Для этого интегрируем уравнение с разделяющимися переменными
и
выбираем какое-либо частное его решение
.
Подставляя функцию
вместо u
в левую часть уравнения (3.5), получаем
уравнение с разделяющимися переменными
относительно функции v(x):
.
Находим
общее решение этого уравнения v=v(x,C).
Перемножая найденные функции
и v(x,C),
получаем общее решение уравнения (3.1):
.