Примеры для самостоятельного решения

Задача 5

Решить уравнение.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26. .

5.27. .

5.28. .

5.29. .

5.30. .

6. Уравнения, не разрешенные относительно производной

Пусть дифференциальное уравнение разрешимо либо относительно искомой функции, то есть имеет вид

, (6.1)

либо относительно аргумента, т.е. записывается в виде

. (6.2)

Тогда оно интегрируется путем введения параметра p=y′. Уравнения (6.1) и (6.2) переходят в алгебраические уравнения, дифференцируя которые по x или по y, получим системы уравнений

, или ,

.

Из этих систем находится соответственно общее решение уравнения (6.1) и (6.2) в явном или параметрическом виде.

Решение типовых примеров

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Введем параметр p=y′. Тогда

. (6.3)

Дифференцируя это равенство по x, получим

,

или

.

Запишем последнее уравнение в форме

.

Это линейное уравнение, его общее решение:

. (6.4)

Подставляя выражение (6.4) в формулу (6.3), получим

. (6.5)

Система соотношений (6.4) и (6.5) определяет общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

, .

Пример 2. Решить уравнение

.

Решение. Полагая p=y′, имеем

.

Дифференцируем это равенство по y:

,

или

.

Отсюда

и .

Подставляя поочередно оба результата в выражение для x, найдем общее решение

и решение

,

которое, как легко убедиться, является особым.

Определение 1. Частным случаем уравнений вида (6.1) является так называемое уравнение Лагранжа

, (6.6)

которое при f(y′)≡ y′ называют уравнением Клеро.

Введением параметра p=y′ уравнение (6.6) приводится к виду

в случае общего уравнения Лагранжа и к виду

в случае уравнения Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет особые решения

,

где - любой из корней уравнения f(p)=p.

Уравнение Клеро имеет общее решение

(6.7)

и особое решение

, , (6.8)

являющееся огибающей семейства интегральных кривых (6.7).

Таким образом, можно сформулировать следующее практическое правило. Заменив в уравнении Клеро символ y′ символом С, мы сразу получаем общее решение (6.7). Дифференцируя его по С и исключая С из системы двух уравнений (общего решения и результата дифференцирования), получаем особое решение (6.8).

Пример 3. Решить уравнение Лагранжа

.

Решение. Полагая , найдем

.

Дифференцируя это равенство по x, получим

,

или

.

Это линейное уравнение имеет общее решение

,

подставляя которое в формулу для y, получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

, .

Кроме того, уравнение имеет особые решения y=0 и y=x+1, соответствующие корням и уравнения .

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид (6.6) при f(y′)=y′, т.е. является уравнением Клеро. Следуя практическому правилу, получаем общее решение

.

Исключая, далее, параметр С из системы уравнений

,

,

получим особое решение

.