2.2. Геометрическое приложение производной

Запишем уравнения касательной и нормали к графику функции в точке . Прямая является касательной и ее уравнение , а прямая (рис. 2) является нормалью и ее уравнение .

Рис. 2

Для получения этих уравнений используем геометрический смысл производной и условия перпендикулярности прямых ( ) . Отрезок называется подкасательной и , а отрезок - поднормаль и .

Пример 11. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Находим , и - угловой коэффициент касательной. И тогда по формуле получаем уравнение касательной : или . А также строим нормаль с угловым коэффициентом , то есть ее уравнение или (рис. 3).

Ответ: уравнение касательной , а уравнение нормали .

Рис. 3

Замечание. В случае параметрического здания кривой , уравнение касательной в точке будет иметь вид: , где , , . А нормаль в этой точке запишется таким образом: .

3. Исследование функции с помощью производной

3.1. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Рассматриваем функцию действительного переменного , определенную всюду в некоторой окрестности фиксированной точки .

Будем говорить, что функция возрастает (рис. 4) в точке , если существует -окрестность – , в пределах которой приращение меняет знак с “–” на “+”. Если меняет знак с “+” на “–”, то в точке функция убывает (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5

Ф ункция монотонно возрастает (убывает) в т. , если . Этот критерий распространяется на все точки некоторой - окрестности точки .

Точка является точкой локального максимума (локального минимума) функции , если существует - окрестность т. , в пределах которой поведение функции как на рис. 6, рис. 7.

Рис. 6 Локальный максимум Рис. 7 Локальный минимум

Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.

Замечание. Могут существовать точки функции, не принадлежащие ни к одному из рассматриваемых типов на рис. 4–7, так называемые точки сгущения. Например, т. для функции не является ни точкой экстремума, ни точкой монотонного возрастания (или убывания). Поскольку производная: в любой сколь угодно малой окрестности т. меняет знак.

Необходимое условие экстремума: если функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируемая в ней, то . Это доказывается с помощью “малой” теоремы Ферма.

Замечание. Обращение в нуль производной является только необходимым, но не достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции. Так, функция имеет , которая обращается в нуль в точке , но никакого экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 8). Здесь является точкой возрастания функции.

Рис. 8

Точки, в которых производная обращается в нуль, называются стационарными точками функции .

Каждая стационарная точка – это точка возможного экстремума. Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной точке имеется экстремум, можно лишь после дополнительных исследований, которые основываются на следующих теоремах (достаточные условия экстремума):

Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то функция в т. имеет локальный экстремум (рис. 9, рис. 10).

Рис. 9. Локальный максимум Рис. 10. Локальный минимум

Пусть функция имеет в стационарной точке конечную вторую производную. Тогда эта функция в точке будет иметь локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

Если же функция имеет производную всюду в окрестности т. , кроме самой точки, однако определена в т. и ее производная меняет знак при переходе через , то функция имеет локальный экстремум, в противном случае нет.

Например, для функций (рис. 11) и (рис. 12) является точкой локального минимума, однако в этой точке не существует.

Рис. 11 Рис. 12