3.2. Выпуклость графика функции
Пусть
функция
имеет производную в любой точке
,
тогда можно провести касательные к
графику функции
,
проходящие через каждую точку
этого графика (причем эти касательные
не параллельны оси
).
Определение.
График функции
на интервале
вогнут (выпуклость вниз), если он лежит
выше любой касательной (рис. 13). В противном
случае выпукл (выпуклостью вверх)
(рис.14).
Рис. 13. График вогнут Рис. 14. График выпукл
Отметим
критерий выпуклости графика функции:
Если функция
имеет на
конечную
,
то при
график идёт выпуклостью вниз (вогнут)
и при
график
идёт выпуклостью вверх (выпуклый).
Действительно,
запишем уравнение касательной к графику
в т.
,
т.е.
и формулу Тейлора в т.
:
.
Произведем вычитание:
,
тогда при
следует неравенство
(т.е. график функции лежит выше любой
касательной), а значит он вогнут.
Аналогично при
имеем неравенство
(т.е. график функции лежит ниже любой
касательной), а значит идёт выпуклостью
вверх.
Примечание.
Для функции
,
имеющей производные до порядка n
включительно,
справедлива формула Тейлора:
,
где
и
.
3.3. Точки перегиба
Точка
графика функции
называется точкой перегиба этого
графика, если существует
,
в пределах которой график функции
слева
и справа от
имеет разные
направления выпуклости (рис. 15).
Сформулируем
необходимое условие перегиба графика:
если функция
имеет
в т.
вторую производную и график этой функции
имеет перегиб в т.
,
то
.
Рис. 15
Запишем достаточные условия перегиба:
1) пусть существует в окрестности и . Тогда, если вторая производная меняет знак при переходе через , то - точка перегиба.
2)
если функция
имеет конечную вторую производную в
некоторой окрестности
,
кроме самой точки, и график функции
имеет касательную в т. 
,
тогда график функции будет иметь перегиб
в этой точке, если
меняет знак при переходе через
.
Например,
для функции
в т.
вторая производная
не существует, но при этом имеется
вертикальная касательная
,
тогда по теореме, поскольку
меняет знак при переходе через т.
,
т.
является точкой перегиба (рис. 16).
Рис. 16
Однако
для функции
в
т.
вторая производная
также не существует, но при этом она и
не меняет знака при переходе через
.
Касательная имеется в точке
(рис. 17), но перегиба нет.
Рис. 17
Заметим, что график полукубической параболы не перегибается при переходе через вертикальную касательную в т. , а “возвращается назад”, поэтому точки такого типа называются “точками возврата”.
3.4. Асимптоты графика функции
Определение.
Говорят, что прямая
является вертикальной асимптотой
графика функции
,
если хотя бы один из пределов
или
равен
.
Например,
для
прямая
является вертикальной асимптотой,
поскольку односторонние пределы:
;
.
Определение.
Говорят, что прямая
является наклонной
асимптотой
графика функции
при
,
если
представима
в виде
,
где
.
Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:
; (1)
. (2)
Действительно,
пусть график функции имеет при
,
асимптоту
,
т.е. для
справедливо представление
.
Тогда
,
.
Это необходимость.
Покажем
достаточность.
Пусть существуют пределы (1) и (2), второй
из этих пределов дает право утверждать,
что разность
является
бесконечно малой при
.
Обозначив эту бесконечно малую функцию
через
,
получим представление
.
Что и требовалось доказать.
Замечание.
Существование наклонной асимптоты
графика функции означает, что при
функция ведет себя “почти как линейная
функция” (рис. 18).
Рис. 18
Линия (1) – график функции ; линия (2) – асимптота графика функции.
Замечание. Для получения уравнения наклонной асимптоты иногда применяется правило Лопиталя:
.
3.5. Схема исследования функции y=f(x)
Находим область определения функции
там, где она имеет смысл, т.е. вычислима.Находим точки пересечения графика с осями координат (с осью
при
и с осью
при
).Находим интервалы знакопостоянства функции там, где
и
.Выясняем чётность или нечётность функции, проверяем равенства
или
.Находим вертикальные и наклонные асимптоты и .
Находим интервалы монотонного убывания (или возрастания функции) там, где
или (
)
и точки экстремума.Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции (там, где
и
),
и точки перегиба.Схематично строим график данной функции с учётом исследования.
Пример
12. Исследовать
функцию
и построить график.
Решение:
1)
область определения:
,
;
2)
найдем точки пересечения графика с осью
,
то есть при
.
С осью
,
где
и тогда
.
Получаем единственную точку
;
3)
интервалы знакопостоянства. Так как
при всех
,
то функция знакоположительна
на всей
числовой прямой.
4)
исследуем на четность
,
то есть
и
,
а значит функция не является чётной и
не является нечётной. Поэтому график
не симметричен относительно осей
координат. Симметрии нет;
5) вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва. Наклонные асимптоты ищем в виде :
,
.
Следовательно
– горизонтальная асимптота при
,
вычисляем угловой коэффициент
,
это означает, что при
асимптот нет. При этом
;
6) находим интервалы монотонного убывания и возрастания функции. Для этого вычисляем 1–ю производную и её корни:
;
,
– нули
ставим на числовую прямую и выясняем
знак
(рис. 19).
Рис. 19
Заметим,
что функция возрастает при
и убывает при
.
Получим
точку локального минимума
,
в которой
и точка локального максимума
,
в которой
.
7)
найдем интервалы выпуклости (вогнутости).
Для этого вычислим 2–ю производную:
и найдём её корни
.
Дискриминант
и по формулам Виета
получаем корни:
.
Выясним знак
при перехода через эти корни (рис. 20).
Рис. 20
Следовательно,
график выпукл при
и вогнут при
.
А тогда точки перегиба графика функции:
и
;
8) строим схематично график функции с учётом проведённого исследования (рис. 21).
Р
ис.
21
Пример
13. Исследовать
функцию
и построить ее график.
Решение:
,
где
точки
разрыва. Область определения
или
;найдем точки пересечения графика с осями координат, пусть
,
точка
является точкой пересечения графика
с осями координат;интервалы законопостоянства (рис. 22):
.
Рис. 22
Если
функция положительна, если
функция отрицательна;
исследование на четность
,
функция нечетная и график симметричен
относительно начала координат;находим асимптоты. Имеем две вертикальные асимптоты. Это прямые с уравнениями
поскольку односторонние пределы:
слева,
справа,
слева,
справа.
Ищем наклонные асимптоты:
;
.
Найдем
и тогда наклонная асимптота
,
где
будет горизонтальной с уравнением
;
интервалы монотонности и точки экстремума:
;
;
,
для всех
.
Функция
является возрастающая на всей числовой
оси. Точек экстремума нет, так как
всюду положительна (рис. 23).
Рис. 23
-
нет
действительных корней;
найдем интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба:
;
.
Точки
перегиба – это те точки, в которых
:
.
Выясним знак при переходе через критические точки (рис. 24).
Рис. 24
График
функции вогнут, если
и выпукл, если
.
Точка
является точкой перегиба графика, потому
что
меняет знак при переходе через
.
Однако при
и
перегиба нет, поскольку функция терпит
разрыв в этих точках;
8) схематично строим график (рис. 25).
Рис. 25