4. Применение пакета прикладных программ “ MathCad“ для построения графика функций

В настоящее время в учебном процессе во многих вузах используются математические пакеты: “MathCad”, “Maple”, “MatLab” и др. Данные программные продукты реализованы на высокопрофессиональном уровне и в процессе своего развития усовершенствуются. ППП “MathCad” имеет дружественный Window’s интерфейс. Он хорошо понятен пользователю на почти интуитивном уровне, имеет “help”, где можно найти любую интересующую информацию.

Непосредственное применение ППП “MathCad” при построении графиков функций с использованием производных и пределов требует знание некоторых функций пакета:

1.Оператор присваивания. “:=” – является оператором присваивания в ППП “MathCad”.

2. Символьное вычисление. Чтобы произвести символьное вычисление или получить точный результат в виде дроби, а не приближенное десятичное значение для результата вычисления необходимо вместо знака “=” писать знак “→”.

3. Вычисление пределов функции.

– возвращает значение предела функции при .

4. Вычисление производной. – возвращает производную функции ; – возвращает n-ю производную функции .

5. Функция нахождения корней уравнения. возвращает значение , при котором равна нулю.

6. Работа с графиками на плоскости:

Создание графика: нажмите клавишу @ и поместите выражение, которое будет отображаться графически, в поле ввода для каждой из осей. Затем нажмите клавишу F9, чтобы построить график.

Удаление графика: щёлкните на графике, чтобы выделить его. Затем нажмите клавиши Ctrl+X , чтобы удалить его.

Перемещение графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Затем перетащите его или вырежьте и вставьте график на новое место.

Изменение размера графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Переместите указатель мыши на правую или нижнюю границу рамки, указатель изменит свой вид на двунаправленную стрелку. Удерживая кнопку мыши, переместите её, чтобы изменить размер графика.

Границы на осях: чтобы изменить границы на осях, установленные в Mathcad по умолчанию, щёлкните в графике в поле ввода для границ на осях. Введите новые значения для каждой оси в соответствующие поля ввода. Нажмите клавишу F9 , чтобы заново отобразить график.

Установки осей: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку X-Y Оси. В открывшемся диалоговом окне можно установить линейный или логарифмический масштаб осей, линии сетки с нумерацией или без неё, тип осей.

Надписи на осях: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Надписи”. Откроется диалоговое окно, содержащее установки для определения надписей для осей.

Установки для отдельных кривых: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Графики”. Открывшееся диалоговое окно позволяет определить тип графика, вид маркеров, толщину, цвет и вид линий.

Имена кривых: дважды щёлкните мышью на графике и в появившемся диалоговом окне выберите закладку “Графики”, чтобы включить или отключить отображение названий кривых.

Увеличение фрагмента графика: Щёлкните дважды на графике, затем выберите пункт “Лупа” из меню “X-Y Графики”. Выделите с помощью мыши область графика, которая будет увеличена. Щёлкните на кнопке “Увеличение” в диалоговом окне – “Лупа”.

Считывание координат точек графика: щёлкните мышью на графике, затем выберите пункт “Графики” из меню “X-Y График”. Щёлкните на нем и переместите мышь в ту точку, координаты которой нужно увидеть. Нажмите клавишу Alt+F4, чтобы закрыть диалоговое окно.

Заголовки графиков: Дважды щёлкните на графике, выберите закладку “Надписи”. В диалоговом окне содержатся установки для включения заголовков в область графика.

Установки по умолчанию: Дважды щёлкните на графике и выберите в диалоговом окне закладку “По умолчанию”. Щёлкните на кнопке "Вернуть значения по умолчанию", чтобы применить к графику значения, установленные по умолчанию. Для того, чтобы определить значения текущего графика как значения по умолчанию, выберите переключатель "Использовать для значений по умолчанию".

Рассмотрим конкретные примеры исследования функций и построения графиков с помощью ППП “MathCad”:

1) (рис. 26)

_{Рис. 26}

_{2) (рис. 27)}

Рис. 27

5. Задачи на минимизацию и максимизацию

С помощью производной решаются прикладные задачи на минимизацию (или максимизацию) некоторой геометрической, физической или экономической величины , зависящей от параметров , которые в свою очередь связаны постоянным соотношением . Тогда задача при условии, что , сводится к отысканию экстремальных значений переменной величины (как функции одной переменной) , где получается из уравнения .

Например, рассмотрим следующую задачу: при каких условиях расход жести на изготовление банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим (рис. 28).

Рис. 28

Решение. Этап I. Строим математическую модель задачи. Пусть расход жести есть величина и в силу условия задачи эта величина совпадает с площадью полной поверхности цилиндра: . Итак . Емкость банки совпадает с объемом цилиндра .

Из всех цилиндров, имеющих заданный объем , выбрать тот, у которого площадь полной поверхности является наименьшей. Это эквивалентно решению задачи: при условии . Из постоянного соотношения и тогда

.

Этап II. Решение математической модели. Для этого исследуем на экстремум функцию при . Экстремальные точки находятся там, где производная функции обращается в ноль, то есть или Выясняем знак при переходе через (рис. 29).

Рис. 29

Следовательно, при функция имеет локальный минимум и т.к. уравнение других корней не имеет, то наименьшее значение функции совпадает с локальным min.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего заданный объем V, будет наименьшей при и , т.е. когда высота совпадает с диаметром основания.

Этап III. Вычисляем наименьший расход жести на изготовление банки цилиндрической формы заданной емкости. Он будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой. При ; . , - минимальный расход жести. Пусть ; т.е. , .

Вывод. Расход жести увеличивается на 6%.