13.3. Оптимизация распределения ресурсов

Пусть – функция выпуска некоторого товара в зависимости от используемых ресурсов: капитала и труда ; – функция затрат на ресурсы и . Требуется найти точку оптимального распределения ресурсов, то есть такие значения и , что при данном уровне выпуска издержки минимальны. Другими словами, требуется найти точку условного экстремума функции при условии . Отсюда согласно замечанию 2 к теореме 5 следует, что в точке оптимального распределения ресурсов линии уровня функций и касаются.

13.4. Максимизация прибыли производства продукции

Пусть – функция выпуска некоторого товара в зависимости от используемых ресурсов: капитала и труда ; – функция затрат на ресурсы и . Тогда функция прибыли имеет вид , где – цена продукции.

Определение 11. Точку называют оптимальным планом, если в ней функция прибыли принимает максимальное значение.

Как правило, в экономике рассматриваются две задачи, связанные с максимизацией прибыли: 1) поиск оптимального плана и максимума прибыли; 2) определение предельной нормы замещения одного ресурса другим при оптимальном плане.

Поиск оптимального плана и максимума прибыли сводится к задаче отыскания локального экстремума функции в области и (при условии, что нет других ограничений).

Из экономики известно, что предельная норма замещения вычисляется по формуле . В точке локального экстремума первые производные функции прибыли равны нулю. Отсюда имеем систему двух уравнений:

Тогда предельную норму замены в точке оптимального плана можно вычислить следующим образом: . В частности, если , где и – соответственно, факторные цены на труд и капитальные затраты, то .

13.5. Оптимизация спроса

Типичной задачей исследования спроса является задача оптимизации функции полезности при ограничениях на бюджет покупателя: найти величины спроса и на два вида товара при ценах на них и соответственно, если потребитель при фиксированном доходе (бюджете) стремится оптимизировать функцию полезности .

Из условия задачи следует, что на покупку двух товаров, стоимость которых , потребитель может израсходовать сумму, не превышающую величины дохода . Следовательно, задача оптимизации спроса сводится к задаче отыскания точки , в которой функция полезности достигает экстремума при ограничениях , , . Тип экстремума зависит от характера выпуклости функции полезности : если выпуклая, то максимум, если вогнутая, то минимум.

13.6. Оптимизация портфеля ценных бумаг

Портфелем ценных бумаг называют совокупность определенных ценных бумаг в определенных количествах. В теории инвестиций портфель ценных бумаг характеризуется двумя основными параметрами – ожидаемой доходностью и риском . Требуется подобрать портфель ценных бумаг с оптимальным сочетанием доходности и риска. Каждому портфелю можно поставить в соответствие точку на координатной плоскости . Тогда множество всех возможных портфелей будет представлять некоторую область . Пусть – функция предпочтений инвестора. В теории, предложенной американским экономистом Х. Марковицем в 1952 году, показано, что задача поиска оптимального портфеля ценных бумаг сводится к отысканию условного экстремума функции предпочтений на границе области .