6. Производная по направлению, градиент функции двух переменных

Пусть задана дифференцируемая функция , определяющая скалярное поле в некоторой области и некоторая точка . Важной характеристикой скалярного поля является интенсивность изменения поля в заданном направлении – производная по направлению.

Пусть – луч, исходящий из точки (данный луч назовем направлением). Тогда производная по направлению луча в точке вычисляется по формуле

, (6.1)

где – направляющие косинусы луча (см. рис. 6.1), – значения частных производных от функции в точке . Направляющие косинусы луча легко найти, если выбрать на точку из области , не совпадающую с точкой . Тогда имеем

, , ,

где – длина (модуль) вектора .

Пусть в области задано плоское скалярное поле (функция зависит от двух переменных) .

В этом случае производная скалярного поля по направлению луча вычисляется по формуле

, (6.2)

где – направляющие косинусы луча (см. рис. 6.2), которые вычисляются как

, , .

Если направление луча задано углом , то и тогда . Поэтому формулу (6.2) можно переписать в виде .

Пример 6.1. Найти производную скалярного поля

в точке в направлении к точке .

Решение: Воспользуемся формулой (6.1). Для этого предварительно найдем частные производные , , .

Значения частных производных в точке будут равны

, ,

.

Далее вычисляем направляющие косинусы ( ,

):

, , .

Искомая производная скалярного поля в точке в направлении к точке будет равна

.

Производная по направлению луча указывает скорость изменения функции в этом направлении. Среди всех направлений можно указать такое, в котором скорость изменения функции будет наибольшим. Это направление называют градиентом функции и обозначают , или (символ читается как “набла”). В случае функции двух переменных градиент определяется вектором

, (6.3)

где – базисные векторы (орты) в двумерной прямоугольной системе координат .

Длина (модуль) градиента определяет наибольшее значение изменения функции. Вектор направлен по нормали и перпендикулярен касательной плоскости.

В случае функции трех переменных градиент определяется вектором

, (6.4)

где – базисные векторы (орты) в трехмерной прямоугольной системе координат .

Пример 6.2. Найти производную функции

в точке в направлении градиента этой функции.

Решение: По условию задачи сказано, что в качестве направления выступает градиент функции ( ). Находим частные производные

,

и значения частных производных в точке : , .

Согласно формуле (6.3) имеем . Тогда , , .

Искомая производная функции в точке в направлении градиента будет равна

.

7. Локальный экстремум функции двух переменных (необходимое и достаточные условия)

Под -окрестностью точки понимается множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют неравенству (точки расположены внутри круга радиуса с центром в ).

Точка называется точкой максимума (минимума) для функции , если найдется такая -окрестность точки , для всех точек которой выполняется неравенство (рис. 18.1) ( соответственно (рис. 18.2)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции .

Необходимое условие экстремума. Дифференцируемая функция двух переменных может иметь точки экстремума только в тех точках, в которых ее частные производные обращаются в нуль (стационарные точки). Таким образом, все точки, подозрительные на экстремум, находятся из условия:

(7.1)

Достаточное условие экстремума. Чтобы ответить на вопрос о том, является ли точка , найденная из условия (7.1), точкой экстремума, проверяется достаточный признак наличия или отсутствия экстремума. А именно, считаются значения , , , . Тогда, если:

1. , то – точка минимума,

2. , то – точка максимума,

3. , то – не является точкой экстремума, (7.2)

4. , то требуется дополнительное исследование.

Замечание: В случае как правило, пользуются определением точки экстремума. Отыскивают такую достаточно малую окрестность точки , в которой могут выполняться как неравенство , так и неравенство . Тогда точка не является точкой экстремума.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение: Сначала найдем стационарные точки для данной функции. Частные производные равны , . Решая систему вида (7.1), которая для нашей задачи примет вид

получим

Итак, точка – подозрительная на экстремум. А это значит, что возможное число точек экстремума, равно одному. Проверим для точки выполнимость достаточного признака экстремума (выполнимость одного из условий 1–4 из (7.2)).

В нашем случае имеем , , , , , значит, точка является точкой минимума для функции (см. рис. 18.3).

Пример 7.2. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение: Вычисляя первые частные производные , получим

, .

Для определения точек, подозрительных на экстремум, необходимо решить систему (7.1), которая в нашем случае примет вид

Сложив два уравнения этой системы, получим

Из последней системы нетрудно найти стационарные точки: .

Вычисляя вторые частные производные , получим .

Для точек , легко проверяется достаточный признак точки экстремума: точки , – точки максимума (см. рисунки 7.4, 7.5).

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Для точки же имеем

, , ,

.

Таким образом, видно, что в данном случае нельзя с помощью достаточного признака выяснить вопрос о наличии экстремума в точке . Воспользуемся определением точки экстремума.

Заметим, что на прямой функция примет вид

.

Очевидно, что при .

На прямой функция примет вид

.

При . Как видно, вблизи исследуемой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения (в самой же точке функция равна нулю), что говорит о том, что точка не является точкой экстремума (рисунки 7.4, 7.5 иллюстрируют это утверждение).