8. Нахождение глобальных экстремумов функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

Если функция дифференцируема в ограниченной замкнутой области , то она достигает своего наибольшего значения или своего наименьшего значения в одной из стационарных точек области или в одной из точек границы области .

y d y=y(x) D x=x(y) c O a b x Рис. 8.1

Составим алгоритм нахождения и для того случая, когда граница области состоит из отдельных участков, отделенных друг от друга крайними точками участков границы (Рис. 8.1). 1. Сначала находим все стационарные точки функции , лежащие строго внутри области , решая систему уравнений:

2. Если участок границы задан уравнением , то ищем стационарные точки функции одной переменной , решая уравнение . Если же участок границы задан уравнением , то ищем стационарные точки функции одной переменной , решая уравнение .

3. Вычисляем значения функции во всех стационарных точках функции, лежащих строго внутри области , во всех крайних точках участков границы, во всех стационарных точках участков границы, а затем выбираем из них наибольшее значение и наименьшее значение .

Пример 8.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной прямыми , , , (см. рис. 8.2).

Решение:

1) Определим сначала стационарные точки функции , лежащие строго внутри области . Имеем

, .

Решая систему

получим стационарную точку , лежащую строго внутри .

Рис 8.2

2. Теперь необходимо исследовать функцию на границе .

a) Первая граница области задана уравнением прямой . На этой границе ( ) исследуемая функция двух переменных станет функцией одной переменной, а именно (подставляем в функцию вместо выражение )

.

Итак, на границе функция примет вид . Находя ее стационарную точку из условия , получим (заметим, что здесь необходимо также следить, чтобы стационарная точка лежала внутри отрезка ). Получили точку , лежащую на границе и являющейся на ней стационарной точкой функции .

б) Вторая граница области задана уравнением прямой . На ней ( ) исследуемая функция примет вид (подставляем в функцию вместо выражение )

,

. Находя ее стационарную точку, получим (полученная точка не лежит внутри интервала).

в) Для границы получим

,

, при ,

– стационарная точка функции на участке .

Для границы получим

,

, при ,

– стационарная точка функции на участке .

3) Вычислим значения функции во всех полученных стационарных точках , , , , во всех крайних точках участков границы: , , , и выберем из них наибольшее, наименьшее значения. Имеем

,

,

,

,

, ,

,

,

,

.