13. Использование экстремумов в экономических исследованиях
13.1. Максимизация прибыли от производства разных видов товаров
Пусть
некоторое предприятие производит
видов товаров в количестве
,
,
…,
;
,
,
…,
– соответственно, цены единицы каждого
товара (
,
– постоянные величины). Затраты на
производство этих товаров задаются
функцией издержек
.
Тогда функция прибыли имеет вид
.
(13.1)
Максимум
прибыли отыскивают как локальный
экстремум функции (13.1) при
,
(при отсутствии других ограничений).
Необходимое условие локального экстремума
имеет вид
(
).
Это условие приводит к системе уравнений
относительно переменных
,
,
…,
:
(
).
(13.2)
Система уравнений (13.2) реализует известное правило экономики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара.
Если же в задаче имеются другие ограничения, заданные системой равенств или неравенств и обусловленные ограниченностью имеющихся на предприятии ресурсов, то максимизация прибыли сводится к отысканию наибольшего значения на множестве, определенном системой ограничений (в случае ограничений-неравенств), или к отысканию условного экстремума (в случае ограничений-равенств).
13.2. Задача ценовой дискриминации
Задача связана с распределением товара одного вида по разным рынкам с разными спросами с тем, чтобы максимизировать прибыль. Так как эластичность спроса на рынках неодинакова, то на товар устанавливаются разные цены, что ведет к так называемой ценовой дискриминации.
Пусть
,
,
…,
– количество одного и того же товара,
продаваемого на
рынках по ценам
,
,
…,
– соответственно цены единицы каждого
товара, то есть цена на каждом рынке
зависит от количества продаваемого
товара. Допустим, что функция затрат
зависит от общего количество продаваемого
товара:
.
Тогда функция прибыли имеет вид
.
(13.3)
Необходимое условие локального экстремума ( ) приводит к системе уравнений относительно переменных , , …, для определения стационарных точек функции (13.3) в области , (при отсутствии других ограничений)
(
).
(13.4)
Затем для полученных точек проверяются достаточные условия существования локального экстремума.
Проведем
анализ дохода
(
),
полученного на каждом рынке, в зависимости
от цены на товар
.
Для этого найдем предельный доход для
каждого рынка:
(
),
где
– эластичность спроса на
-м
рынке (
).
Так как зависимость спроса от цены –
убывающая функция, то
,
следовательно, предельный доход на
-м
рынке можно представить в более удобной
форме
(
).
(13.5)
Если
,
то рынок неэластичный и
.
Если
,
то рынок эластичный и
(
).
Если
(
),
то для выполнения условий (13.4) требуется,
чтобы был выбран рынок с положительным
предельным доходом или с эластичным
спросом, то есть с условием
.
Перепишем условие (13.4) с учетом (13.5):
(
),
из которого выводится условие «ценовой дискриминации»: чем меньше по абсолютной величине эластичность данного рынка при данном количестве продаваемого товара, тем выше должна быть цена на товар при условии максимизации прибыли.